A 1000 K e 1 bar, o volume molar de grafite é 1,97 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol} maior do que o do diamante e o \Delta G_{f}^{o}( diamante )=G^{0}( diamente )-G^{0}( grafite )=6,07 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Encontre a pressão necessária para converter grafite em diamante a 1000 K .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos os números abaixo foram retirados do enunciado):
  • Temperatura: 1000\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de referência: 1\\ \mathrm{bar} (ou seja, P^{\circ}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
  • Diferença de Gibbs entre diamante e grafite na pressão de 1\\ \mathrm{bar} e 1000\\ \mathrm{K}: \Delta G^{\circ}(\text{diamante})=G^{\circ}(\text{diamante})-G^{\circ}(\text{grafite})=6{,}07\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Informação sobre volumes (dita no enunciado): “o volume molar de grafite é 1{,}97\\ \mathrm{cm^{3}/mol} maior do que o do diamante”. Portanto, para a reação \text{grafite}\longrightarrow\text{diamante}a variação de volume molar é \Delta V = V_{\mathrm{diamante}}-V_{\mathrm{grafite}} = -1{,}97\\ \mathrm{cm^{3}/mol}.
O que o enunciado pede: encontrar a pressão P (a 1000\\ \mathrm{K}) na qual a transformação grafite \to diamante se torna espontânea, isto é, a pressão para a qual \Delta G(P)=0.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática): a energia de Gibbs de uma substância depende da pressão segundo a relação diferencial
dG = V\,dP - S\,dT.
Aqui:
  • G é a energia de Gibbs molar,
  • V é o volume molar,
  • P é a pressão,
  • S é a entropia molar,
  • T é a temperatura.
Se a temperatura é mantida constante ( dT=0), essa relação reduz-se a
dG = V\,dP.
Integrando essa expressão entre uma pressão de referência P^{\circ} e uma pressão P, e assumindo que o volume molar é aproximadamente constante (boa aproximação para sólidos), obtemos
G(P) = G(P^{\circ}) + V\,(P-P^{\circ}).
Para a reação grafite \to diamante, a variação de energia livre com a pressão é então
\Delta G(P)=\Delta G^{\circ} + \Delta V\,(P-P^{\circ}),
onde
  • \Delta G^{\circ} é a variação de Gibbs à pressão de referência P^{\circ} (aqui 1\\ \mathrm{bar}),
  • \Delta V é a variação de volume molar da reação (moléculas finais menos iniciais).
Explicando: \Delta V\,(P-P^{\circ}) é o termo que corrige a energia livre quando trocamos a pressão; se \Delta V<0, aumentar a pressão favorece a reação (reduz \Delta G).

Passo 3

Condição de equilíbrio (ou espontaneidade limiar): queremos a pressão P tal que \Delta G(P)=0. Usando a expressão do passo anterior:
0 = \Delta G^{\circ} + \Delta V\,(P-P^{\circ}).
Isolando P:
P = P^{\circ} - \frac{\Delta G^{\circ}}{\Delta V}.
Observação sobre sinais: como no enunciado a grafite tem volume maior que o diamante, \Delta V<0; assim -\dfrac{\Delta G^{\circ}}{\Delta V} será positivo, dando uma pressão maior que P^{\circ}, como esperado.

Passo 4

Conversões de unidades (muito importantes): transformar todos os dados para o SI.
  • \Delta G^{\circ}=6{,}07\\ \mathrm{kJ/mol}=6070\\ \mathrm{J/mol}.
  • \Delta V = -1{,}97\\ \mathrm{cm^{3}/mol} = -1{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/mol} (porque 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}).
  • P^{\circ}=1\\ \mathrm{bar}=1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Vou reescrever a fórmula pronta para cálculo com essas unidades:
P = 1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} - \frac{6070\\ \mathrm{J/mol}}{-1{,}97\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/mol}}.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado:
Primeiro calcular o quociente \dfrac{\Delta G^{\circ}}{\Delta V} (atenção ao sinal: \Delta V é negativo).
\frac{6070}{1{,}97\times10^{-6}} = \frac{6070}{1{,}97}\times10^{6}.
Calculemos \dfrac{6070}{1{,}97} passo a passo:
\frac{6070}{1{,}97}\approx3081{,}22\quad(\text{aproximação com 5 algarismos significativos}).çã
Multiplicando por 10^{6}:
\frac{6070}{1{,}97\times10^{-6}}\approx3{,}081216\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Agora inserir na expressão de P (lembrando o sinal):
P = 1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} + 3{,}081216\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} \approx 3{,}081316\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Expressões em unidades mais usuais e interpretação:
  • Em pascal: P \approx 3{,}08\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em gigapascal: P \approx 3{,}08\\ \mathrm{GPa} (pois 1\\ \mathrm{GPa}=10^{9}\\ \mathrm{Pa}).
  • Em bar: \displaystyle P \approx \frac{3{,}0813\times10^{9}}{1\times10^{5}} \approx 3{,}08\times10^{4}\\ \mathrm{bar} (ou cerca de 30{,}8 mil bar).
Interpretação física rápida: é uma pressão bem alta (alguns GPa), o que coincide com a experiência prática de que transformar grafite em diamante requer pressões muito elevadas. Bom sinal: o sinal de \Delta V negativo levou a um aumento grande da pressão necessária para tornar \Delta G nula.

Passo 7

Pequena verificação de consistência e incentivo:
  • Verificação de ordem de grandeza: \dfrac{6000\\ \mathrm{J/mol}}{2\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}/mol}}\sim3\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, ou seja 3\\ \mathrm{GPa}, exatamente da mesma ordem que o resultado. Ótimo — cálculo consistente.
  • Parabéns: você agora sabe derivar e calcular a pressão de equilíbrio usando a dependência de G com P. É uma técnica útil para sólidos onde o volume é quase constante.

Resposta

P \approx 3{,}08\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\approx 3{,}08\\ \mathrm{GPa}

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