A 1000 K e 1 bar, o volume molar de grafite é
maior do que o do diamante e o
diamante
diamente
grafite
. Encontre a pressão necessária para converter grafite em diamante a 1000 K .
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (todos os números abaixo foram retirados do enunciado):
- Temperatura:
. - Pressão de referência:
(ou seja, ). - Diferença de Gibbs entre diamante e grafite na pressão de
e : . - Informação sobre volumes (dita no enunciado): “o volume molar de grafite é
maior do que o do diamante”. Portanto, para a reação a variação de volume molar é
O que o enunciado pede: encontrar a pressão
(a
) na qual a transformação grafite
diamante se torna espontânea, isto é, a pressão para a qual
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática): a energia de Gibbs de uma substância depende da pressão segundo a relação diferencial
Aqui:
-
é a energia de Gibbs molar, -
é o volume molar, -
é a pressão, -
é a entropia molar, -
é a temperatura.
Se a temperatura é mantida constante (
), essa relação reduz-se a
Integrando essa expressão entre uma pressão de referência
e uma pressão
, e assumindo que o volume molar é aproximadamente constante (boa aproximação para sólidos), obtemos
Para a reação grafite
diamante, a variação de energia livre com a pressão é então
onde
-
é a variação de Gibbs à pressão de referência (aqui ), -
é a variação de volume molar da reação (moléculas finais menos iniciais).
Explicando:
é o termo que corrige a energia livre quando trocamos a pressão; se
, aumentar a pressão favorece a reação (reduz
).
Passo 3
Condição de equilíbrio (ou espontaneidade limiar): queremos a pressão
tal que
. Usando a expressão do passo anterior:
Isolando
:
Observação sobre sinais: como no enunciado a grafite tem volume maior que o diamante,
; assim
será positivo, dando uma pressão maior que
, como esperado.
Passo 4
Conversões de unidades (muito importantes): transformar todos os dados para o SI.
-
. -
(porque ). -
.
Vou reescrever a fórmula pronta para cálculo com essas unidades:
Passo 5
Cálculo numérico detalhado:
Primeiro calcular o quociente (atenção ao sinal:
é negativo).
Primeiro calcular o quociente
Calculemos
passo a passo:
Multiplicando por
:
Agora inserir na expressão de
(lembrando o sinal):
Passo 6
Expressões em unidades mais usuais e interpretação:
- Em pascal:
. - Em gigapascal:
(pois ). - Em bar:
(ou cerca de mil bar).
Interpretação física rápida: é uma pressão bem alta (alguns GPa), o que coincide com a experiência prática de que transformar grafite em diamante requer pressões muito elevadas. Bom sinal: o sinal de
negativo levou a um aumento grande da pressão necessária para tornar
nula.
Passo 7
Pequena verificação de consistência e incentivo:
- Verificação de ordem de grandeza:
, ou seja , exatamente da mesma ordem que o resultado. Ótimo — cálculo consistente. - Parabéns: você agora sabe derivar e calcular a pressão de equilíbrio usando a dependência de
com . É uma técnica útil para sólidos onde o volume é quase constante.