7.11.1 Uma máquina térmica, funcionando de acordo com o ciclo de Carnot, recebe 5.000.000 de quilocalorias por hora da fonte quente, cuja temperatura é de 190^{\circ} \mathrm{C}. A potência consumida na fase de bombeamento é de 200 CV e a temperatura da fonte fria é de 47^{\circ} \mathrm{C}.
Calcular:
a) o rendimento térmico da máquina;
b) o fluxo de calor cedido à fonte fria;
c) a potência produzida pela máquina.

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (vou repetir pedacinho por pedacinho com as unidades):
Q_h = 5{.}000{.}000 quilocalorias por hora (fluxo de calor recebido da fonte quente).
A temperatura da fonte quente é \;190^\circ\mathrm{C}.
A temperatura da fonte fria é \;47^\circ\mathrm{C}.
A potência consumida na fase de bombeamento é 200\\ \mathrm{CV}.
O que o exercício pede:
a) o rendimento térmico da máquina;
b) o fluxo de calor cedido à fonte fria (ou seja, Q_c, o calor que sai para a fonte fria);
c) a potência produzida pela máquina (ou seja, a potência útil final, levando em conta que 200\\ \mathrm{CV} são consumidos na fase de bombeamento).
Observações sobre unidades que vou usar (já que há quilocalorias/h e CV): vou converter para unidades SI (watts) para efetuar as contas de potência, mas também retornarei Q_c em quilocalorias/h porque o enunciado deu Q_h nessa unidade. As conversões que vou usar são: 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J}, 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s} e 1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W} (valor usual aproximado).

Passo 2

Primeiro passo teórico importante: para usar a fórmula do rendimento de Carnot precisamos das temperaturas absolutas (Kelvin). Então convertemos Celsius para Kelvin com a fórmula \;T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273.
Calcule T_h e T_c:
T_h = 190^\circ\mathrm{C} + 273 = 463\\ \mathrm{K},
T_c = 47^\circ\mathrm{C} + 273 = 320\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida do porquê: a eficiência de Carnot depende das temperaturas termodinâmicas absolutas porque razões entre temperaturas em Celsius não têm significado físico correto; só a escala absoluta (Kelvin) é a adequada.

Passo 3

Agora a fórmula do rendimento (eficiência) de uma máquina de Carnot: é a máxima eficiência teórica entre duas fontes a T_h e T_c,
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Aqui \eta é adimensional (fração da energia recebida que pode ser convertida em trabalho). Explico: \eta representa a razão entre trabalho produzido e calor absorvido da fonte quente; para Carnot esse valor depende só das temperaturas absolutas.
Aplicando os valores:
\eta = 1 - \frac{320}{463} = \frac{463-320}{463} = \frac{143}{463}.
Decimalizando e em porcentagem:
\eta \approx 0{,}3089 \quad\text{ou}\quad \eta \approx 30{,}89\%.

Passo 4

Precisamos do fluxo de calor em unidades de potência (watts) para calcular a potência produzida. Converto Q_h de \mathrm{kcal/h} para \mathrm{W} usando 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}:
\dot{Q}_h = 5{.}000{.}000\\ \mathrm{kcal/h} \times \frac{4184\\ \mathrm{J}}{1\\ \mathrm{kcal}} \times \frac{1}{3600\\ \mathrm{s/h}}.
Faço a conta (mostrando multiplicação reduzida):
\dot{Q}_h = 5{.}000{.}000 \times \frac{4184}{3600}\\ \mathrm{W} = 5{.}000{.}000 \times 1{,}162222\ldots\\ \mathrm{W} \approx 5{.}811{.}111{,}11\\ \mathrm{W}.
Ou seja, \dot{Q}_h \approx 5{,}811{,}111\\ \mathrm{W} (aprox. 5{,}811\\ \mathrm{kW}).
Comentário didático: multiplicar por 4184 transforma kcal em joules; dividir por 3600 transforma por hora para por segundo, ficando watts.

Passo 5

Calcular o fluxo de calor cedido à fonte fria Q_c. Para um ciclo de Carnot:
\dot{Q}_c = \dot{Q}_h \left(1 - \eta\right) = \dot{Q}_h \frac{T_c}{T_h}.
Posso calcular em duas formas equivalentes; vou primeiro em quilocalorias por hora (porque Q_h foi dado assim), e depois converto para watts.
Em \mathrm{kcal/h}:
Q_c(\mathrm{kcal/h}) = 5{.}000{.}000 \times \frac{320}{463}.
Faço a multiplicação:
Q_c(\mathrm{kcal/h}) \approx 5{.}000{.}000 \times 0{,}691144\ldots \approx 3{.}455{.}720\\ \mathrm{kcal/h}.
Convertendo para watts (mesmo procedimento do Passo 4):
\dot{Q}_c = 3{.}455{.}720\\ \mathrm{kcal/h} \times \frac{4184}{3600}\\ \mathrm{W} \approx 4{.}016{.}314{,}6\\ \mathrm{W}.
Interpretação prática: de cada 5{.}000{.}000\\ \mathrm{kcal/h} que entram, cerca de 3{.}455{.}720\\ \mathrm{kcal/h} saem para a fonte fria; o resto foi convertido em trabalho (idealmente).

Passo 6

Calcular a potência (taxa de trabalho) produzida pela máquina antes de descontar a potência de bombeamento. A potência bruta que o ciclo produz é
\dot{W}_\text{bruta} = \eta \dot{Q}_h.
Usando \dot{Q}_h \approx 5{.}811{.}111{,}11\\ \mathrm{W} e \eta \approx 0{,}308878\ldots,
\dot{W}_\text{bruta} \approx 0{,}308878\cdot 5{.}811{.}111{,}11\\ \mathrm{W}\approx 1{.}794{.}798\\ \mathrm{W}.
Também podemos verificar isso com Q_h - Q_c (em energia por hora): em kcal/h, trabalho por hora é 5{.}000{.}000 - 3{.}455{.}720 = 1{.}544{.}280\\ \mathrm{kcal/h}, convertendo dá o mesmo valor em W.
Comentário didático: esse é o trabalho produzido pelo ciclo ideal; mas parte desse trabalho é consumido internamente na fase de bombeamento.

Passo 7

Converter a potência consumida na fase de bombeamento para watts e subtrair para obter a potência líquida produzida pela máquina.
Converter 200\\ \mathrm{CV} para watts usando 1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W}:
P_\text{bomba} = 200 \times 736\\ \mathrm{W} = 147{.}200\\ \mathrm{W}.
Potência líquida produzida pela máquina:
\dot{W}_\text{líquida} = \dot{W}_\text{bruta} - P_\text{bomba} \approx 1{.}794{.}798\\ \mathrm{W} - 147{.}200\\ \mathrm{W} \approx 1{.}647{.}598\\ \mathrm{W}.í
Converter essa potência líquida para cavalos-vapor para conveniência (dividindo por 736\\ \mathrm{W/CV}):
\dot{W}_\text{líquida} \approx \frac{1{.}647{.}598}{736}\\ \mathrm{CV} \approx 2{.}238{,}6\\ \mathrm{CV}.í
Interpretação: a máquina ideal de Carnot, com os dados dados, transforma o calor recebido numa potência bruta de \approx 1{,}795\\ \mathrm{kW}, mas como 200\\ \mathrm{CV} (≈ 147{,}2\\ \mathrm{kW}) são consumidos na bomba, a potência útil final é ≈ 1{,}647{,6}\\ \mathrm{kW} (≈ 2{,}238{,6}\\ \mathrm{CV}).

Passo 8

Resumo dos resultados intermediários com unidades e arredondamentos razoáveis (vou manter 4 algarismos significativos onde fizer sentido):
  • T_h = 463\\ \mathrm{K}, T_c = 320\\ \mathrm{K}.
  • \eta = \dfrac{143}{463} \approx 0{,}3089 \;(30{,}89\%).
  • Fluxo de calor cedido à fonte fria: Q_c \approx 3{.}455{.}720\\ \mathrm{kcal/h} \approx 4{.}016{.}315\\ \mathrm{W}.
  • Potência bruta produzida: \dot{W}_\text{bruta} \approx 1{.}794{.}798\\ \mathrm{W}.
  • Potência consumida pela bomba: P_\text{bomba}=147{.}200\\ \mathrm{W} (200 CV).
  • Potência líquida produzida: \dot{W}_\text{líquida} \approx 1{.}647{.}598\\ \mathrm{W} \approx 2{.}238{,}6\\ \mathrm{CV}.í

Resposta

(a) \eta = \displaystyle 1 - \frac{320}{463} = \frac{143}{463} \approx 0{,}3089 (30{,}89%).
(b) Q_c \approx 3{.}455{.}720\\ \mathrm{kcal/h} \approx 4{.}016{.}315\\ \mathrm{W}.
(c) Potência líquida produzida \dot{W}_\text{líquida} \approx 1{.}647{.}598\\ \mathrm{W} \approx 2{.}238{,}6\\ \mathrm{CV}.í

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