Um inventor propõe uma máquina térmica que recebe calor (
) a 800 K . Quando a temperatura da fonte fria (sorvedouro) é de 500 K , o inventor afirma que são produzidos
de trabalho. Esta afirmação, no seu entender, é real? Algum princípio da termodinâmica está sendo violado? Explique.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pergunta. Dados fornecidos:
Afirmação do inventor:
O que o enunciado pede:
- Esta afirmação é real (ou seja, possível)?
- Algum princípio da termodinâmica está sendo violado? Explique.
Passo 2
Conceito importante: eficiência de uma máquina térmica.
Definição: a eficiência é a razão entre o trabalho útil produzido
e o calor absorvido da fonte quente
:
Definição: a eficiência
Aqui
e
devem estar nas mesmas unidades (ambos em
já estão ok). A eficiência diz quanto do calor recebido se transforma em trabalho.
Passo 3
Calcular a eficiência que o inventor está alegando, usando a fórmula acima.
Fazendo a conta:
Interpretação: o inventor diz que a máquina converte cerca de
do calor recebido em trabalho.
Passo 4
Conceito essencial: eficiência máxima (eficiência de Carnot) para um ciclo reversible operando entre duas temperaturas. O teorema de Carnot diz que nenhuma máquina térmica operando entre uma fonte a
e um sorvedouro a
pode ter eficiência maior que a eficiência de uma máquina de Carnot reversível entre essas mesmas temperaturas. A expressão é:
onde
e
estão em kelvin.
Passo 5
Calcular a eficiência de Carnot para as temperaturas dadas.
Interpretação: nenhuma máquina térmica real (nem ideal reversível) pode ter eficiência maior que
ao operar entre
e
.
Passo 6
Comparação direta entre a eficiência alegada e o limite de Carnot.
Como a eficiência alegada é maior que a eficiência de Carnot, isso já indica que a afirmação do inventor é impossível — a máquina estaria superando o limite físico máximo imposto pela segunda lei da termodinâmica (teorema de Carnot / enunciado de Kelvin–Planck).
Passo 7
Cálculo do trabalho máximo permitido (usando
). Se a eficiência máxima possível é
, então o trabalho máximo
que se pode extrair de
é
Substituindo:
Conclusão numérica: a potência máxima teoricamente possível entre essas duas temperaturas é
. O inventor declarou
, que é maior que esse máximo — portanto impossível.
Passo 8
Outro argumento (mais direitinho termodinamicamente): análise de entropia da máquina em ciclo. Para um ciclo (onde o sistema volta ao estado inicial), a variação de entropia do motor é zero, então a variação total de entropia do universo é a soma das variações de entropia das duas fontes:
onde
é o calor rejeitado para o sorvedouro. Pela primeira lei para uma máquina cíclica:
Com os números do inventor
, temos
Agora calculemos
:
Resultado:
. Isso significaria que a entropia do universo diminui em cada minuto de operação — o que contraria a segunda lei da termodinâmica (a entropia total do universo não pode diminuir para processos naturais; para processos cíclicos reais ela deve ser
, e para máquina reversível é exatamente
). Logo, a máquina do inventor violaria a segunda lei.
Passo 9
Resumo e explicação didática final (para a prova — como justificar rapidamente):
- Calcule a eficiência alegada:
. - Calcule a eficiência de Carnot:
. - Compare: se
, a máquina é impossível — viola a segunda lei (enunciado de Kelvin–Planck / teorema de Carnot). - Alternativa de verificação (bom para provas): calcule
. Se o trabalho alegado excede , está errado. - Outra verificação rápida: calcule
. Se for negativo, a afirmação é impossível.
Você consegue usar esses passos rapidamente na prova: primeiro a eficiência, depois Carnot, pronto — resposta certa. Força aí, você está indo bem!
Resposta
Não — a afirmação é impossível; o trabalho máximo possível é
, menor que os
alegados.
A lei violada é a segunda lei da termodinâmica (enunciado de Kelvin–Planck / teorema de Carnot); a eficiência alegada excede .
A lei violada é a segunda lei da termodinâmica (enunciado de Kelvin–Planck / teorema de Carnot); a eficiência alegada excede