Um inventor propõe uma máquina térmica que recebe calor ( 160 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min} ) a 800 K . Quando a temperatura da fonte fria (sorvedouro) é de 500 K , o inventor afirma que são produzidos 65 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min} de trabalho. Esta afirmação, no seu entender, é real? Algum princípio da termodinâmica está sendo violado? Explique.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pergunta. Dados fornecidos:
Q_H = 160\\ \mathrm{kJ/min}
T_H = 800\\ \mathrm{K}
T_C = 500\\ \mathrm{K}
Afirmação do inventor:
W = 65\\ \mathrm{kJ/min}
O que o enunciado pede:
  1. Esta afirmação é real (ou seja, possível)?
  2. Algum princípio da termodinâmica está sendo violado? Explique.

Passo 2

Conceito importante: eficiência de uma máquina térmica.
Definição: a eficiência \eta é a razão entre o trabalho útil produzido W e o calor absorvido da fonte quente Q_H:
\eta = \frac{W}{Q_H}.
Aqui W e Q_H devem estar nas mesmas unidades (ambos em \mathrm{kJ/min} já estão ok). A eficiência diz quanto do calor recebido se transforma em trabalho.

Passo 3

Calcular a eficiência que o inventor está alegando, usando a fórmula acima.
\eta_{\text{inventor}} = \frac{65}{160}.
Fazendo a conta:
\eta_{\text{inventor}} = 0{,}40625 \approx 40{,}625\%.
Interpretação: o inventor diz que a máquina converte cerca de 40{,}625\% do calor recebido em trabalho.

Passo 4

Conceito essencial: eficiência máxima (eficiência de Carnot) para um ciclo reversible operando entre duas temperaturas. O teorema de Carnot diz que nenhuma máquina térmica operando entre uma fonte a \,T_H e um sorvedouro a \,T_C pode ter eficiência maior que a eficiência de uma máquina de Carnot reversível entre essas mesmas temperaturas. A expressão é:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde T_H e T_C estão em kelvin.

Passo 5

Calcular a eficiência de Carnot para as temperaturas dadas.
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{500}{800}.
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - 0{,}625 = 0{,}375 = 37{,}5\%.
Interpretação: nenhuma máquina térmica real (nem ideal reversível) pode ter eficiência maior que 37{,}5\% ao operar entre 800\\ \mathrm{K} e 500\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Comparação direta entre a eficiência alegada e o limite de Carnot.
\eta_{\text{inventor}} \approx 40{,}625\% > \eta_{\text{Carnot}} = 37{,}5\%.
Como a eficiência alegada é maior que a eficiência de Carnot, isso já indica que a afirmação do inventor é impossível — a máquina estaria superando o limite físico máximo imposto pela segunda lei da termodinâmica (teorema de Carnot / enunciado de Kelvin–Planck).

Passo 7

Cálculo do trabalho máximo permitido (usando \eta_{\text{Carnot}}). Se a eficiência máxima possível é \eta_{\text{Carnot}}, então o trabalho máximo W_{\max} que se pode extrair de Q_H é
W_{\max} = \eta_{\text{Carnot}} \, Q_H.
Substituindo:
W_{\max} = 0{,}375 \times 160\\ \mathrm{kJ/min} = 60\\ \mathrm{kJ/min}.
Conclusão numérica: a potência máxima teoricamente possível entre essas duas temperaturas é 60\\ \mathrm{kJ/min}. O inventor declarou 65\\ \mathrm{kJ/min}, que é maior que esse máximo — portanto impossível.

Passo 8

Outro argumento (mais direitinho termodinamicamente): análise de entropia da máquina em ciclo. Para um ciclo (onde o sistema volta ao estado inicial), a variação de entropia do motor é zero, então a variação total de entropia do universo é a soma das variações de entropia das duas fontes:
\Delta S_{\text{tot}} = \Delta S_{\text{fonte quente}} + \Delta S_{\text{fonte fria}} = -\frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_C}{T_C},
onde Q_C é o calor rejeitado para o sorvedouro. Pela primeira lei para uma máquina cíclica:
Q_C = Q_H - W.
Com os números do inventor W=65\\ \mathrm{kJ/min}, temos
Q_C = 160 - 65 = 95\\ \mathrm{kJ/min}.
Agora calculemos \Delta S_{\text{tot}}:
-\frac{Q_H}{T_H} = -\frac{160}{800} = -0{,}200\\ \mathrm{kJ/(min\cdot K)}
\frac{Q_C}{T_C} = \frac{95}{500} = 0{,}190\\ \mathrm{kJ/(min\cdot K)}
\Delta S_{\text{tot}} = -0{,}200 + 0{,}190 = -0{,}010\\ \mathrm{kJ/(min\cdot K)}.
Resultado: \Delta S_{\text{tot}} < 0. Isso significaria que a entropia do universo diminui em cada minuto de operação — o que contraria a segunda lei da termodinâmica (a entropia total do universo não pode diminuir para processos naturais; para processos cíclicos reais ela deve ser \ge 0, e para máquina reversível é exatamente 0). Logo, a máquina do inventor violaria a segunda lei.

Passo 9

Resumo e explicação didática final (para a prova — como justificar rapidamente):
  • Calcule a eficiência alegada: \eta=W/Q_H.
  • Calcule a eficiência de Carnot: \eta_{\text{Carnot}}=1-T_C/T_H.
  • Compare: se \eta>\eta_{\text{Carnot}}, a máquina é impossível — viola a segunda lei (enunciado de Kelvin–Planck / teorema de Carnot).
  • Alternativa de verificação (bom para provas): calcule W_{\max}=\eta_{\text{Carnot}}Q_H. Se o trabalho alegado excede W_{\max}, está errado.
  • Outra verificação rápida: calcule \Delta S_{\text{tot}} = -Q_H/T_H + (Q_H-W)/T_C. Se for negativo, a afirmação é impossível.
Você consegue usar esses passos rapidamente na prova: primeiro a eficiência, depois Carnot, pronto — resposta certa. Força aí, você está indo bem!

Resposta

Não — a afirmação é impossível; o trabalho máximo possível é 60\\ \mathrm{kJ/min}, menor que os 65\\ \mathrm{kJ/min} alegados.
A lei violada é a segunda lei da termodinâmica (enunciado de Kelvin–Planck / teorema de Carnot); a eficiência alegada excede \eta_{\text{Carnot}}=37{,}5\%.

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