Um prédio para o qual a taxa de transferência de calor, através das paredes e teto, é de 1500 \mathrm{kj} / \mathrm{h} por grau de diferença de temperatura entre o interior e o exterior deve ser mantido a 20^{\circ} \mathrm{C}. Para um dia no qual a temperatura externa seja de 3,5^{\circ} \mathrm{C}, determine em estado estacionário a potência necessária em hp, para aquecer o prédio e compare com a potência mínima teórica requerida por uma bomba de calor.

Passo 1

O enunciado informa que a taxa de transferência de calor através do envelope do prédio é de 1500\\ \mathrm{kJ/h} por grau de diferença de temperatura entre interior e exterior. O interior deve ser mantido a 20^\circ\mathrm{C}. A temperatura externa é 3{,}5^\circ\mathrm{C}.\n
Perguntas que precisamos responder:
  1. Em estado estacionário, qual a potência necessária (em \mathrm{hp}) para aquecer o prédio? (interpreto isto como a potência térmica que deve ser fornecida continuamente para compensar as perdas — se for aquecimento elétrico resistivo, a potência elétrica fornecida será igual à potência térmica requerida.)\n
  2. Compare essa potência com a potência mínima teórica requerida por uma bomba de calor (ou seja, o trabalho mínimo reversível que uma bomba de calor ideal precisaria fornecer, usando o COP de Carnot).\n
    Informações relevantes do enunciado (listadas):
  • Taxa por grau: 1500\\ \mathrm{kJ/h\;por\;^\circ C}.
  • Temperatura interna: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: 3{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = 20 - 3{,}5 = 16{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Precisaremos fazer conversões de unidades: \mathrm{kJ/h} para \mathrm{kW} (ou \mathrm{kJ/s}), e \mathrm{kW} para \mathrm{hp}. Também usaremos temperaturas em Kelvin para o COP de Carnot.

Passo 2

Calcular a taxa de perda de calor (potência térmica) que deve ser reposta em regime estacionário.\n
A perda por grau é 1500\\ \mathrm{kJ/h\;por\;^\circ C}. Multiplicando pela diferença de temperatura \Delta T:
\dot{Q} = 1500\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{h}\cdot{}^\circ\mathrm{C}}\times 16{,}5^\circ\mathrm{C}.
Faço a multiplicação:
\dot{Q} = 1500 \times 16{,}5 = 24750\\ \mathrm{kJ/h}.
Agora converto para \mathrm{kW}. Lembre que 1\\ \mathrm{kW} = 1\\ \mathrm{kJ/s} e 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}. Então:
\dot{Q} = \frac{24750\\ \mathrm{kJ}}{3600\\ \mathrm{s}} = 6{,}875\\ \mathrm{kJ/s} = 6{,}875\\ \mathrm{kW}.
Explicação curta sobre a conversão: dividir por 3600 transforma energia por hora ( \mathrm{kJ/h}) em energia por segundo ( \mathrm{kJ/s}), que é exatamente \mathrm{kW}.

Passo 3

Converter a potência térmica necessária para \mathrm{hp}.\n
Precisamos escolher a definição de \mathrm{hp}. Vou usar a horsepower mecânica comum com valor aproximado 1\\ \mathrm{hp} = 745{,}7\\ \mathrm{W} = 0{,}7457\\ \mathrm{kW}. (Se preferires outra convenção, o procedimento é o mesmo; mudo apenas o fator de conversão.)\n
A potência em \mathrm{hp} é:
P_{\text{res}} = \frac{6{,}875\\ \mathrm{kW}}{0{,}7457\\ \mathrm{kW/hp}}.
Calculo:
P_{\text{res}} \approx 9{,}22\\ \mathrm{hp}.
Interpretação: se usarmos aquecimento elétrico resistivo (100% de conversão em calor), precisamos de cerca de 9{,}22\\ \mathrm{hp} de potência elétrica contínua para manter 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora calculamos a potência mínima teórica exigida por uma bomba de calor ideal (Carnot).\n
Conceito e fórmula: para uma bomba de calor ideal operando entre uma fonte fria à temperatura T_c e um sumidouro quente à temperatura T_h, a eficiência de aquecimento (coeficiente de performance para aquecimento) é o COP de Carnot dado por
\mathrm{COP}_{\mathrm{H,\,Carnot}} = \frac{T_h}{T_h - T_c},
onde T_h e T_c são temperaturas absolutas em Kelvin. Aqui T_h é a temperatura interna e T_c a externa.\n
Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
T_h = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K},
T_c = 3{,}5^\circ\mathrm{C} = 3{,}5 + 273{,}15 = 276{,}65\\ \mathrm{K}.
A diferença T_h - T_c é \;293{,}15 - 276{,}65 = 16{,}5\\ \mathrm{K} (mesmo valor numérico que em graus Celsius, porque a escala Kelvin apenas desloca a origem).\n
Agora calculo o COP de Carnot:
\mathrm{COP}_{\mathrm{H,\,Carnot}} = \frac{293{,}15}{16{,}5} \approx 17{,}77.
Significado: uma bomba de calor ideal poderia, em princípio, entregar cerca de 17{,}77 unidades de calor para cada unidade de trabalho fornecido.\n
Logo, o trabalho mínimo (potência de entrada) requerido por uma bomba de calor ideal para prover \dot{Q}=6{,}875\\ \mathrm{kW} de aquecimento é
P_{\text{min}} = \frac{\dot{Q}}{\mathrm{COP}_{\mathrm{H,\,Carnot}}} = \frac{6{,}875\\ \mathrm{kW}}{17{,}77} \approx 0{,}387\\ \mathrm{kW}.
Convertendo para \mathrm{hp} com o mesmo fator:
P_{\text{min}} = \frac{0{,}387\\ \mathrm{kW}}{0{,}7457\\ \mathrm{kW/hp}} \approx 0{,}519\\ \mathrm{hp}.

Passo 5

Comparação e interpretação final (resultado numérico e o que significa):\n
  • Aquecimento direto (resistivo): P \approx 9{,}22\\ \mathrm{hp}.\n
  • Bomba de calor ideal (Carnot): P_{\text{mín}} \approx 0{,}519\\ \mathrm{hp}í.\n
    Isto significa que, em teoria ideal (reversível), uma bomba de calor poderia reduzir a potência de entrada necessária em um fator aproximadamente igual ao COP de Carnot, ou seja, cerca de 17{,}8 vezes menos potência elétrica do que um aquecedor resistivo. Na prática, bombas de calor reais têm COP bem menores que o limite de Carnot (dependendo do equipamento talvez COP reais fiquem entre 2 e 5 ou algo assim), então a potência real necessária ficará entre esses extremos: menor que o aquecimento resistivo, mas bem maior que o mínimo teórico. Mantém a calma: o cálculo feito aqui é exato para o ideal e mostra o ganho potencial.

Resposta

Potência necessária para aquecer o prédio (aquecimento direto): 9{,}22\\ \mathrm{hp}\n
Potência mínima teórica necessária por uma bomba de calor ideal (Carnot): 0{,}519\\ \mathrm{hp}

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