Um prédio para o qual a taxa de transferência de calor, através das paredes e teto, é de
por grau de diferença de temperatura entre o interior e o exterior deve ser mantido a
. Para um dia no qual a temperatura externa seja de
, determine em estado estacionário a potência necessária em hp, para aquecer o prédio e compare com a potência mínima teórica requerida por uma bomba de calor.
Passo 1
O enunciado informa que a taxa de transferência de calor através do envelope do prédio é de
por grau de diferença de temperatura entre interior e exterior. O interior deve ser mantido a
. A temperatura externa é
.\n
Perguntas que precisamos responder:
Perguntas que precisamos responder:
- Em estado estacionário, qual a potência necessária (em
) para aquecer o prédio? (interpreto isto como a potência térmica que deve ser fornecida continuamente para compensar as perdas — se for aquecimento elétrico resistivo, a potência elétrica fornecida será igual à potência térmica requerida.)\n - Compare essa potência com a potência mínima teórica requerida por uma bomba de calor (ou seja, o trabalho mínimo reversível que uma bomba de calor ideal precisaria fornecer, usando o COP de Carnot).\n
Informações relevantes do enunciado (listadas):
- Taxa por grau:
. - Temperatura interna:
. - Temperatura externa:
. - Diferença de temperatura:
. - Precisaremos fazer conversões de unidades:
para (ou ), e para . Também usaremos temperaturas em Kelvin para o COP de Carnot.
Passo 2
Calcular a taxa de perda de calor (potência térmica) que deve ser reposta em regime estacionário.\n
A perda por grau é . Multiplicando pela diferença de temperatura
:
A perda por grau é
Faço a multiplicação:
Agora converto para
. Lembre que
e
. Então:
Explicação curta sobre a conversão: dividir por
transforma energia por hora (
) em energia por segundo (
), que é exatamente
.
Passo 3
Converter a potência térmica necessária para
.\n
Precisamos escolher a definição de . Vou usar a horsepower mecânica comum com valor aproximado
. (Se preferires outra convenção, o procedimento é o mesmo; mudo apenas o fator de conversão.)\n
A potência em é:
Precisamos escolher a definição de
A potência em
Calculo:
Interpretação: se usarmos aquecimento elétrico resistivo (100% de conversão em calor), precisamos de cerca de
de potência elétrica contínua para manter
.
Passo 4
Agora calculamos a potência mínima teórica exigida por uma bomba de calor ideal (Carnot).\n
Conceito e fórmula: para uma bomba de calor ideal operando entre uma fonte fria à temperatura e um sumidouro quente à temperatura
, a eficiência de aquecimento (coeficiente de performance para aquecimento) é o COP de Carnot dado por
Conceito e fórmula: para uma bomba de calor ideal operando entre uma fonte fria à temperatura
onde
e
são temperaturas absolutas em Kelvin. Aqui
é a temperatura interna e
a externa.\n
Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
A diferença
é
(mesmo valor numérico que em graus Celsius, porque a escala Kelvin apenas desloca a origem).\n
Agora calculo o COP de Carnot:
Agora calculo o COP de Carnot:
Significado: uma bomba de calor ideal poderia, em princípio, entregar cerca de
unidades de calor para cada unidade de trabalho fornecido.\n
Logo, o trabalho mínimo (potência de entrada) requerido por uma bomba de calor ideal para prover de aquecimento é
Logo, o trabalho mínimo (potência de entrada) requerido por uma bomba de calor ideal para prover
Convertendo para
com o mesmo fator:
Passo 5
Comparação e interpretação final (resultado numérico e o que significa):\n
- Aquecimento direto (resistivo):
.\n - Bomba de calor ideal (Carnot):
.\n
Isto significa que, em teoria ideal (reversível), uma bomba de calor poderia reduzir a potência de entrada necessária em um fator aproximadamente igual ao COP de Carnot, ou seja, cerca devezes menos potência elétrica do que um aquecedor resistivo. Na prática, bombas de calor reais têm COP bem menores que o limite de Carnot (dependendo do equipamento talvez COP reais fiquem entre 2 e 5 ou algo assim), então a potência real necessária ficará entre esses extremos: menor que o aquecimento resistivo, mas bem maior que o mínimo teórico. Mantém a calma: o cálculo feito aqui é exato para o ideal e mostra o ganho potencial.
Resposta
Potência necessária para aquecer o prédio (aquecimento direto):
\n
Potência mínima teórica necessária por uma bomba de calor ideal (Carnot):
Potência mínima teórica necessária por uma bomba de calor ideal (Carnot):