3.125 Dois tanques nuio-isolados contem ar Iniciaimente o tanque A ãmazena 1 \mathrm{lb}(0,45 \mathrm{~kg}) de ar a 1440^{\circ} \mathrm{R}\left(526,8^{\circ} \mathrm{C}\right) e o tanque B contém 2 Ib ( 0,91 \mathrm{~kg} ) de ar a 900^{\circ} \mathrm{R} ( 226,8^{\circ} \mathrm{C} ) A pressio inicial em cada tanque é de 50 \mathrm{lbt} / \mathrm{in}^{2}(344,7 \mathrm{kPa}) Uma válvuia na linha que conecta os dois tanques é aberta, permitindo a mistura dos conteúdos dos tanques. Eventualanente, os conteúdos dos tanques alcançam equilibrio à temperatura da vizinhança, dada por 520^{\circ} \mathrm{R}\left(15,7^{\circ} \mathrm{C}\right). Assumindo o comportamento de gás ideal, determine a quantidade de energia transferida como calor, em Btu, e a pressüo final, em Ibf/in².

Passo 1

Enunciado resumido (o que foi dado e o que se pede):
  • Dados:
    • Massa no tanque A: m_A=1\\ \mathrm{lb}.
    • Temperatura inicial do tanque A: T_{A,i}=1440^\circ\mathrm{R} (já em Rankine).
    • Massa no tanque B: m_B=2\\ \mathrm{lb}.
    • Temperatura inicial do tanque B: T_{B,i}=900^\circ\mathrm{R}.
    • Pressão inicial em cada tanque: p_i=50\\ \mathrm{lbf/in^2}.
    • Após abrir a válvula, os conteúdos se misturam e, por condução com a vizinhança (tanques não isolados), o sistema atinge a temperatura ambiente T_f=520^\circ\mathrm{R}.
    • Assume-se ar ideal.
  • O que se pede:
    1. A quantidade de energia transferida como calor (em Btu) durante o processo (sinal convencionado: positivo se entra no sistema).
    2. A pressão final do sistema, em \mathrm{lbf/in^2}.
Observações de leitura: todas as informações necessárias estão no enunciado; os tanques são rígidos (volume fixo de cada tanque), a massa total é conservada e não há trabalho de deslocamento de fronteira (rigidez). Vamos usar a lei dos gases ideais e a relação de energia interna para gás ideal.

Passo 2

Encontrar os volumes iniciais dos tanques usando a lei dos gases ideais e ajustar unidades:
  • Fórmula (lei dos gases ideais para massa fixa):
pV = m R T
onde p é pressão, V volume, m massa, R é a constante específica do gás (para o ar) e T é temperatura em Rankine.
  • Escolha de unidades (para evitar erro): usar pés e pés cúbicos para volume e a constante R em \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot R)}.
    • Constante específica do ar: R = 53{,}35\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot R)} (valor padrão).
    • Converter pressão de \mathrm{lbf/in^2} para \mathrm{lbf/ft^2}:
    1\\ \mathrm{lbf/in^2} = 144\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
    Portanto
    p_i = 50\\ \mathrm{lbf/in^2} = 50\cdot 144 = 7200\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  • Agora isolar V:
V=\frac{m R T}{p}.

Passo 3

Calcular os volumes iniciais de cada tanque (em \mathrm{ft^3}):
  • Tanque A:
V_A=\frac{m_A R T_{A,i}}{p_i}=\frac{1\cdot 53{,}35\cdot 1440}{7200}.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{1440}{7200}=0{,}2,
V_A=53{,}35\cdot 0{,}2=10{,}67\\ \mathrm{ft^3}.
  • Tanque B:
V_B=\frac{m_B R T_{B,i}}{p_i}=\frac{2\cdot 53{,}35\cdot 900}{7200}.
Passo a passo:
\frac{900}{7200}=0{,}125,
V_B=2\cdot 53{,}35\cdot 0{,}125=2\cdot 6{,}66875=13{,}3375\\ \mathrm{ft^3}.
  • Volume total (os dois tanques juntos, constante porque tanques são rígidos):
V_{tot}=V_A+V_B=10{,}67+13{,}3375=24{,}0075\\ \mathrm{ft^3}.

Passo 4

Determinar a pressão final usando conservação de massa e a lei dos gases ideais no estado final:
  • Massa total:
m_{tot}=m_A+m_B=1+2=3\\ \mathrm{lb}.
  • Na condição final (temperatura T_f uniforme e volume total conhecido):
p_f=\frac{m_{tot} R T_f}{V_{tot}}.
  • Calcular numerador:
m_{tot} R T_f = 3\cdot 53{,}35\cdot 520.
Calculemos:
53{,}35\cdot 520=27{,}742,
3\cdot 27{,}742=83{,}226\\ \text{(unidade: ft}\cdot\mathrm{lbf/ft^3} = \mathrm{lbf/ft^2}\cdot\mathrm{ft^3}/\mathrm{ft^3} \text{ consistente)}.
  • Agora dividir por V_{tot}:
p_f=\frac{83{,}226}{24{,}0075}=3467{,}7\\ \mathrm{lbf/ft^2}\\ (\text{aprox.}).
  • Converter para \mathrm{lbf/in^2} (psi):
p_f\\ (\mathrm{lbf/in^2})=\frac{3467{,}7}{144}=24{,}10\\ \mathrm{lbf/in^2}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Energia: balanço de energia para o sistema fechado (dois tanques juntos) — como obter o calor Q:
  • Para um sistema fechado sem trabalho de fronteira (tanques rígidos) e sem outras formas de trabalho/energia, o balanço de energia reduz a:
Q = \Delta U,
onde \Delta U é a variação da energia interna total do sistema.
  • Para gás ideal a energia interna depende só da temperatura:
U = m c_v T,
então a variação em cada tanque é
\Delta U = m c_v (T_f - T_i).
  • Valor de c_v do ar (unidades inglesas, Btu/(lb·R)):
    • Usamos o valor padrão aproximado
    c_v \approx 0{,}1714\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)}.(Esse valor vem de c_p\approx 0{,}240\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)} e R\approx 0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)}, com c_v=c_p-R ou a partir de \gamma.)

Passo 6

Calcular a variação de energia interna de cada tanque e somar para obter Q:
  • Tanque A:
\Delta U_A = m_A c_v (T_f - T_{A,i}) = 1\cdot 0{,}1714\cdot (520-1440).
Calcule:
520-1440 = -920,
\Delta U_A = 0{,}1714\cdot(-920) = -157{,}688\\ \mathrm{Btu}.
  • Tanque B:
\Delta U_B = m_B c_v (T_f - T_{B,i}) = 2\cdot 0{,}1714\cdot (520-900).
Calcule:
520-900 = -380,
\Delta U_B = 2\cdot 0{,}1714\cdot(-380)=2\cdot(-65{,}132)= -130{,}264\\ \mathrm{Btu}.
  • Energia total (calor trocado com o ambiente):
Q = \Delta U_{total}=\Delta U_A+\Delta U_B = -157{,}688 + (-130{,}264)= -287{,}952\\ \mathrm{Btu}.
  • Interpretação do sinal: Q<0 significa que, no total, houve liberação de calor do sistema para a vizinhança (o sistema perdeu energia; isso faz sentido porque ambos os tanques estavam mais quentes que a temperatura final do entorno).

Passo 7

Arredondamentos finais e interpretação:
  • Pressão final em \mathrm{lbf/in^2}: p_f\approx 24{,}10\\ \mathrm{lbf/in^2}.
  • Calor trocado (em Btu): Q\approx -287{,}95\\ \mathrm{Btu} (ou, arredondando, -288{,}0\\ \mathrm{Btu}). O negativo indica que 288\\ \mathrm{Btu} saíram do sistema para o ambiente.

Resposta

-287{,}95\\ \mathrm{Btu}
24{,}10\\ \mathrm{lbf/in^2}

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