Problema 3.42 Uma panela de pressão (tanque fechado) contém água a 100^{\circ} \mathrm{C}, com o volume do líquido sendo 1 / 10 do volume do vapor. Ela é aquecida até que a pressão atinja 2,0 \mathrm{MPa}. Encontre a temperatura final. O estado final apresenta mais ou menos vapor do que o estado inicial?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações:
    • A panela (tanque fechado) contém água em equilíbrio líquido+vapor a 100^\circ\mathrm{C}.
    • O volume do líquido é \tfrac{1}{10} do volume do vapor, ou seja V_l = \tfrac{1}{10}V_v.
    • A panela é aquecida até que a pressão dentro atinja 2{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Perguntas:
    1. Qual é a temperatura final?
    2. O estado final apresenta mais ou menos vapor do que o estado inicial?
Nenhuma outra informação foi pedida; vamos usar propriedades de água saturada (tabelas de vapor) quando necessário.

Passo 2

Princípio físico básico que vamos usar (explicação didática):
  • Quando há líquido e vapor em equilíbrio dentro de um recipiente fechado, a pressão dentro do recipiente é a pressão de saturação correspondente à temperatura de equilíbrio. Portanto, se a pressão final é 2{,}0\\ \mathrm{MPa}, a temperatura final é a temperatura de saturação correspondente a 2{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Conclusão imediata: a temperatura final é a temperatura de saturação em P=2{,}0\\ \mathrm{MPa}. Para obter o valor numérico usamos uma tabela de propriedades de água saturada (steam tables).

Passo 3

Dados das tabelas de vapor (estou explicitando que peguei estes valores nas steam tables):
  • Para T=100^\circ\mathrm{C} (estado inicial, saturação a 0{,}1013\\ \mathrm{MPa}): v_{f1} = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_{g1} = 1{,}6720\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Para P=2{,}00\\ \mathrm{MPa} (estado final, tabela de saturação): T_{\mathrm{sat}}(2{,}00\\ \mathrm{MPa}) = 212{,}4^\circ\mathrm{C}, \qquad v_{f2} = 0{,}001157\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_{g2} = 0{,}09963\\ \mathrm{m^3/kg}.
Obs.: os valores numéricos de v_f e v_g e T_{\mathrm{sat}} foram retirados da tabela de vapor (steam tables).

Passo 4

Definir qualidade (fórmula e interpretação):
  • Qualidade x é a fração mássica de vapor: \;x=\dfrac{m_v}{m_l+m_v}.
  • Relações volume-massa: V_l = m_l\,v_f,\qquad V_v = m_v\,v_g.
  • Do enunciado temos \;V_l=\dfrac{1}{10}V_v. Substituindo: m_l\,v_{f1}=\frac{1}{10}\,m_v\,v_{g1}.
  • Daí a razão de massas: \frac{m_l}{m_v}=\frac{v_{g1}}{10\,v_{f1}}.
  • Expressando a qualidade inicial x_1 em termos dessa razão: x_1=\frac{m_v}{m_l+m_v}=\frac{1}{1+\frac{m_l}{m_v}} =\frac{1}{1+\dfrac{v_{g1}}{10\,v_{f1}}}.

Passo 5

Cálculo numérico da qualidade inicial x_1 (substituindo os valores das tabelas):
  • Primeiro calcule a razão: \frac{v_{g1}}{10\,v_{f1}}=\frac{1{,}6720}{10\cdot 0{,}001043} =\frac{1{,}6720}{0{,}01043}\approx 160{,}3.
  • Então x_1=\frac{1}{1+160{,}3}\approx 0{,}00620.
Interpretação: a fração mássica de vapor inicial é aproximadamente 0{,}62\% (muito pouca massa em forma de vapor).

Passo 6

Encontrar o volume específico total (que é constante, porque o tanque é rígido e a massa total não muda):
  • A soma das frações dá o volume específico total v (volume por unidade de massa total): v=(1-x_1)\,v_{f1}+x_1\,v_{g1}.
  • Substituindo números: v=(1-0{,}00620)\cdot 0{,}001043 + 0{,}00620\cdot 1{,}6720 \approx 0{,}01140\\ \mathrm{m^3/kg}.
Explicação: v é o volume total dividido pela massa total; como o tanque é rígido esse v permanece o mesmo antes e depois do aquecimento.

Passo 7

Determinar a nova qualidade x_2 no estado final (usando as propriedades de saturação em 2{,}00\\ \mathrm{MPa}):
  • A relação entre v, v_{f2}, v_{g2} e x_2 é v=(1-x_2)\,v_{f2}+x_2\,v_{g2}.
  • Isolando x_2: x_2=\frac{v-v_{f2}}{v_{g2}-v_{f2}}.
  • Substituindo valores numéricos: v-v_{f2}=0{,}01140-0{,}001157=0{,}01024,
v_{g2}-v_{f2}=0{,}09963-0{,}001157=0{,}09847,
x_2=\frac{0{,}01024}{0{,}09847}\approx 0{,}104.
Interpretação: a fração mássica de vapor final é cerca de 10{,}4\%.

Passo 8

Comparação e interpretação física (resumindo de forma didática):
  • Inicialmente x_1\approx 0{,}00620 (≈ 0{,}62\% de massa em vapor).
  • Finalmente x_2\approx 0{,}104 (≈ 10{,}4\% de massa em vapor).
  • Portanto a massa de vapor aumentou: o estado final apresenta consideravelmente mais vapor do que o estado inicial.
  • Intuição física: ao aquecer, parte do líquido evapora aumentando a massa de vapor; mesmo com o aumento da pressão (que reduz o volume específico do vapor), o processo ocorreu de modo que a fração mássica de vapor cresceu.

Resposta

T_{\text{final}} = 212{,}4^\circ\mathrm{C}.
O estado final apresenta mais vapor do que o estado inicial (qualidade inicial x_1\approx 0{,}00620; qualidade final x_2\approx 0{,}104).

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