Determine a pressão, em lbf/in², de etano (C₂H₆) a 115°F (46,1°C) e um volume especifico de 0,3 ft³/lb (0,02 m³/kg)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a pressão, em lbf/in², de etano ( \mathrm{C_2H_6}) nas condições dadas. Dados fornecidos:
\text{Temperatura: }115^\circ\mathrm{F}\quad(=46{,}1^\circ\mathrm{C})
\text{Volume específico: }0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb}\quad\text{(também foi fornecido }0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg}\text{)}íé
Observação importante: os dois valores de volume específico dados pelo enunciado não são exatamente equivalentes quando convertidos com precisão. Eu vou calcular a pressão para os dois casos (usar 0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg} e usar 0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb}), e explico as conversões — assim você confere qual valor você realmente tem no caderno da prova. Não pergunto nada; apenas sigo com ambas as interpretações.

Passo 2

Escolha do método: vou usar a equação dos gases ideais como método básico e direto:
p\,v = R\,T
onde
  • p é a pressão (unidade a escolher),
  • v é o volume específico (volume por unidade de massa),
  • R é a constante específica do gás (constante universal dividida pela massa molar),
  • T é a temperatura absoluta (Kelvin no SI ou Rankine no sistema inglês).
Vou calcular primeiro em unidades SI (Pa) usando v=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg} e depois converter para lbf/in². Em seguida faço o cálculo direto usando v=0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb} para comparar.

Passo 3

Conversão de temperatura para Kelvin (para trabalhar em SI) e explicação:
A escala Kelvin é a escala absoluta usada em SI. Para converter de Celsius para Kelvin:
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Temos 115^\circ\mathrm{F}=46{,}1^\circ\mathrm{C}. Então
T = 46{,}1 + 273{,}15 = 319{,}25\\ \mathrm{K}.
(Esse T será usado na fórmula p v = R T no sistema SI.)

Passo 4

Constante específica do etano e explicação:
A constante universal dos gases é \displaystyle R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
A constante específica R (por unidade de massa) é
R = \frac{R_u}{M},
onde M é a massa molar do etano. A massa molar do etano é M=30{,}07\\ \mathrm{kg/kmol} (ou 0{,}03007\\ \mathrm{kg/mol}). Assim (em SI, por kg)
R = \frac{8{,}314462618}{0{,}03007}\\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}} \approx 276{,}46\\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}}.
Explicando: R dá quanto ‘trabalho/energia por massa e por grau’ o gás pode fazer ao estar numa dada temperatura — é a constante que liga p, v e T.

Passo 5

Cálculo da pressão pelo gás ideal usando v=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg}:
Aplicando \displaystyle p=\frac{R\,T}{v} com R\approx 276{,}46\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, T=319{,}25\\ \mathrm{K} e v=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg}:
p = \frac{276{,}46\cdot 319{,}25}{0{,}02}\\ \mathrm{Pa}.
Faço a conta passo a passo:
276{,}46\cdot 319{,}25 \approx 88\,283\\ \mathrm{(J/kg)}.
p \approx \frac{88\,283}{0{,}02} = 4\,414\,150\\ \mathrm{Pa}.
Agora converto Pascal para lbf/in² (psi). A relação é 1\\ \mathrm{psi}=6894{,}757\\ \mathrm{Pa}. Então
p \approx \frac{4\,414\,150}{6894{,}757}\\ \mathrm{psi}\approx 640{,}6\\ \mathrm{lbf/in^{2}}.

Passo 6

Conversão e cálculo alternativo usando v=0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb}:
Primeiro converto 0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb} para \mathrm{m^3/kg} (para poder usar os mesmos R e T em SI):
1\\ \mathrm{ft^3}=0{,}028316846592\\ \mathrm{m^3},\qquad 1\\ \mathrm{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg}.
Logo
v = 0{,}3\cdot\frac{0{,}028316846592}{0{,}45359237}\\ \mathrm{m^3/kg} \approx 0{,}018735\\ \mathrm{m^3/kg}.
(Esse cálculo mostra por que os dois valores dados no enunciado não batem exatamente: 0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg} equivale a cerca de 0{,}3207\\ \mathrm{ft^3/lb}, não exatamente 0{,}3.)
Agora aplico a equação dos gases ideais com v\approx0{,}018735\\ \mathrm{m^3/kg}:
p = \frac{276{,}46\cdot 319{,}25}{0{,}018735}\\ \mathrm{Pa}.
Calculemos:
276{,}46\cdot 319{,}25 \approx 88\,283\quad\Rightarrow\quad p \approx \frac{88\,283}{0{,}018735}\approx 4\,712\,700\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para lbf/in²:
p \approx \frac{4\,712\,700}{6894{,}757}\\ \mathrm{psi}\approx 683{,}8\\ \mathrm{lbf/in^{2}}.

Passo 7

Interpretação física e aviso didático:
  • Usei a equação dos gases ideais; ela é a maneira mais direta e costuma ser exigida quando o enunciado não pede correções por não idealidade.
  • Atenção: etano tem temperatura crítica T_c\approx305{,}3\\ \mathrm{K}. A nossa temperatura é 319{,}25\\ \mathrm{K}, ou seja T/T_c\approx1{,}05. Além disso a pressão calculada é alta (centenas de psi). Nessas condições o comportamento real pode diferir do ideal — o fator de compressibilidade Z pode não ser exatamente 1. Em provas mais exigentes pode ser pedido usar uma equação de estado real (ex.: Peng–Robinson) ou gráfico de fatores de compressibilidade para corrigir. Como não foi pedido, e sem mais dados, o cálculo ideal acima é a solução básica.
  • Também destaque: havia pequenas inconsistências numéricas no enunciado entre as unidades; por isso dei as duas respostas correspondentes às duas interpretações.

Resposta

640{,}6\\ \mathrm{lbf/in^{2}} (usando v=0{,}02\\ \mathrm{m^3/kg}).
683{,}8\\ \mathrm{lbf/in^{2}} (usando v=0{,}3\\ \mathrm{ft^3/lb}, que corresponde a 0{,}018735\\ \mathrm{m^3/kg}).

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