7.13 Um mistura contendo 2 moles de propano (1), 3 moles de butano (2) e 5 moles de pentano (3) está em um reservatório a 30 bar e
. As constantes de van der Waals para essas substâncias são:
Substância
Propano
0,94
Butano
1,45
Pentano
1,91
| Substância |
|
|
| Propano | 0,94 |
|
| Butano | 1,45 |
|
| Pentano | 1,91 |
|
Passo 1
O enunciado dá uma mistura contendo
moles de propano (1),
moles de butano (2) e
moles de pentano (3) num reservatório nas condições
e
. Foram fornecidas as constantes de van der Waals (na unidade indicada) para cada componente:
O que vamos calcular (pressuposição razoável e necessária para resolver a questão): o fator de compressibilidade da mistura
e o volume molar da mistura
nas condições dadas, usando a equação de van der Waals com regras de mistura clássicas (regra de mistura linear para
e regra quadrática com
para
). As informações relevantes estão listadas acima (moles,
,
,
,
). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Calcular as frações molares dos componentes (porque as regras de mistura usam frações molares
). O total de moles é
. Assim:
Explicação pedagógica curta: a fração molar
é a razão entre os moles do componente
e o total; é a forma natural de pesar cada constante ao formar propriedades médias da mistura.
Passo 3
Regra de mistura para
(a mais simples): o parâmetro
da mistura é a média ponderada linear por
:
Vamos calcular term por term:
Somando:
Breve comentário:
tem dimensão de volume por mol, como esperado; é o espaço “excluído” pela presença das moléculas.
Passo 4
Regra de mistura clássica para
: usam-se combinações cruzadas
e
É prático separar termos diagonais e cruzados:
Calculemos as raízes cruzadas necessárias (mostro aproximações para cada produto):
Agora os termos com
:
Os termos cruzados:
Somando diagonais e cruzados:
Comentário didático:
representa a força média de atração intermolecular na mistura; a regra com
é a regra clássica de Lorentz-Berthelot (aqui só a parte de geometric mean para
).
Passo 5
Definir os parâmetros adimensionais usados para resolver a equação cúbica em
. Para van der Waals define-se
Convertendo unidades e valores numéricos:
e a constante dos gases:
Calcule
e
:
Agora
e
:
Interpretação:
mede a importância relativa das forças atrativas (proporcional a
e
),
mede o efeito do volume finito das moléculas; ambos adimensionais aparecem na equação cúbica para
.]
Passo 6
Derivar a equação cúbica para o fator de compressibilidade
a partir da equação de van der Waals. Começamos com
e usamos
. Substituindo e reorganizando (passos de álgebra mostrados resumidamente) obtemos a forma cúbica em
:
onde
e
foram definidos no Passo 5. Explicação rápida: essa é a forma padrão de transformar a EOS em uma equação puramente em
, o que permite resolver o fator de compressibilidade sem calcular primeiro
.
Passo 7
Resolver numericamente a cúbica
Os coeficientes numéricos são aproximadamente:
Para encontrar a raiz física (estado gasoso aqui esperado, isto é, a raiz de maior Z positiva), fazemos tentativa e iteração simples (método de tentativa/interpolação): testando alguns valores
Interpolando entre
e
obtemos a raiz
Comentário didático: aqui usei tentativa e interpolação linear porque a cúbica não é trivial de resolver analiticamente em prova sem calculadora; esse procedimento (testar valores e refinar) é aceitável quando você pode fazer contas rápidas e quer uma raiz com precisão razoável.
Passo 8
Calcular o volume molar
a partir de
. A relação é
Usando
,
e
:
Interpretação prática: o volume molar ideal (se
) a essas condições seria
; aqui
significa que as forças atrativas predominam relativamente ao gás ideal, reduzindo o volume.