Calcule a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água a
50 MPa e 500^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água nas condições indicadas.
  • Dados do enunciado: P = 50\\ \mathrm{MPa}
T = 500^\circ\mathrm{C} = 773,15\\ \mathrm{K}
  • Dados termodinâmicos padrão (usar estes valores para a água): T_c = 647{,}096\\ \mathrm{K},\qquad P_c = 2{,}2064\times10^{7}\\ \mathrm{Pa},\qquad \omega = 0{,}344
  • Objetivos numéricos finais: calcular f\quad\text{(fugacidade, em Pa ou MPa)}\quad\text{e}\quad \varphi\quad\text{(coeficiente de fugacidade, adimensional).}

Passo 2

O que é fugacidade e qual método vamos usar (explicação didática, tipo “aula rápida”).
  • Fugacidade é uma pressão “efetiva” que corrige o comportamento real de um gás em relação ao gás ideal. Para uma substância pura em uma dada T e P, f = \varphi\,P,onde \varphi é o coeficiente de fugacidade (adimensional). Se o gás fosse ideal, \varphi=1 e f=P.
  • Para calcular \varphi precisamos de um modelo termodinâmico (equação de estado). Escolhi a equação de Peng–Robinson (PR) porque:
    • é uma equação cúbica amplamente usada em problemas de alta pressão,
    • é relativamente simples de aplicar na prova e dá resultados razoáveis para vapor d’água em altas pressões,
    • exige apenas os dados críticos e o fator acêntrico ( T_c,P_c,\omega).
  • Vou mostrar as fórmulas do PR, calcular os parâmetros, obter o fator de compressibilidade Z e usar a expressão analítica do PR para \ln\varphi. Tudo passo a passo.

Passo 3

Fórmulas da equação de Peng–Robinson e definição de parâmetros (explicando cada símbolo).
  • Constante universal dos gases: R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Parâmetros da PR: a = 0{,}45724\;\frac{R^2 T_c^2}{P_c},\qquad b = 0{,}07780\;\frac{R T_c}{P_c}.Esses a e b são parâmetros na forma reduzida; a tem unidades de \mathrm{Pa\;m^6\;mol^{-2}} (ou \mathrm{(Pa\;m^3/mol)^2}) e b tem unidades de \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
  • Correção de temperatura (alpha): \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^2,
\alpha(T) = \bigl(1 + \kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2,\qquad T_r=\frac{T}{T_c}.
Então a(T)=a\,\alpha(T).
  • Formas adimensionais úteis: A = \frac{a(T)\,P}{R^2 T^2},\qquad B = \frac{b\,P}{R T}.
  • Polinômio cúbico em Z (fator de compressibilidade): Z^3 - (1-B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (AB - B^2 - B^3) = 0.
  • Fórmula do coeficiente de fugacidade (Peng–Robinson): \ln\varphi = Z - 1 - \ln(Z - B) - \frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\ln\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).Aqui \varphi é adimensional; f=\varphi P.

Passo 4

Calcular \kappa, T_r e \alpha (mostrando cada conta e o que cada número representa).
  • Primeiro T_r: T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{773{,}15}{647{,}096}\approx 1{,}1946.
  • Calcule \kappa: \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}344) - 0{,}26992(0{,}344)^2.
(0{,}344)^2 = 0{,}118336
\kappa \approx 0{,}37464 + 0{,}53054 - 0{,}03194 \approx 0{,}87324.
  • Agora \alpha: \sqrt{T_r}\approx 1{,}0930,\qquad 1-\sqrt{T_r}\approx -0{,}0930,
\alpha = \bigl(1 + \kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^2 \approx (1 + 0{,}87324\cdot(-0{,}0930))^2 \approx (0{,}9187)^2 \approx 0{,}8440.

Passo 5

Calcular a, b e a(T)=a\alpha (com as contas explícitas).
  • Calcula-se a: a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c}.Substituindo os números (usar unidades SI: P_c=2{,}2064\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}): a \approx 0{,}45724\frac{(8{,}314462618)^2\,(647{,}096)^2}{2{,}2064\times10^{7}}\approx 0{,}6000\\ \text{(unidade PR)}.(o valor numérico vem da multiplicação passo a passo mostrada nas contas de análise.)
  • Calcula-se b: b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}
b \approx 0{,}07780\frac{8{,}314462618\cdot 647{,}096}{2{,}2064\times10^{7}}\approx 1{,}897\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3\;mol^{-1}}.
  • Ajuste de temperatura: a(T) = a\alpha \approx 0{,}6000\cdot 0{,}8440 \approx 0{,}5064.

Passo 6

Calcular A e B (mostrando cada operação).
  • Lembrete das fórmulas: A = \frac{a(T)\,P}{R^2 T^2},\qquad B = \frac{b\,P}{R T}.
  • Substituindo: A \approx \frac{0{,}5064\cdot 5{,}0\times10^{7}}{(8{,}314462618)^2\cdot (773{,}15)^2}\approx 0{,}613.
B \approx \frac{1{,}897\times10^{-5}\cdot 5{,}0\times10^{7}}{8{,}314462618\cdot 773{,}15}\approx 0{,}1476.
  • Observação rápida: A e B são adimensionais; A mede força das atrações e B mede volume próprio por mol relativa a RT/P.

Passo 7

Montar o polinômio cúbico em Z e encontrar a raiz física (passo-a-passo numérico de teste).
  • Polinômio: Z^3 - (1-B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (AB - B^2 - B^3) = 0.Substituindo A e B: Z^3 - 0{,}8524 Z^2 + 0{,}25249 Z - 0{,}06548 = 0.
  • Para encontrar a raiz real adequada (compressibilidade física), avaliamos o polinômio em alguns pontos:
    • Em Z=0{,}5: valor \approx -0{,}0273 (negativo).
    • Em Z=0{,}6: valor \approx -0{,}00485 (ainda negativo, mas quase zero).
    • Em Z=0{,}62: valor \approx +0{,}00190 (positivo).
  • Pelo teorema da função contínua (ou interpolação linear), a raiz está entre 0{,}61 e 0{,}62. Fazendo interpolação ou refinando a avaliação, encontra-se: Z \approx 0{,}6145.
  • Observação física: em condição supercrítica ( P>P_c e T>T_c) normalmente há apenas uma raiz real física; esse Z é o fator de compressibilidade do fluido nas condições dadas.

Passo 8

Calcular \ln\varphi usando a expressão do PR (detalhando cada termo).
  • Reescrevendo a fórmula: \ln\varphi = Z - 1 - \ln(Z-B) - \frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\ln\!\left(\frac{Z + (1+\sqrt{2})B}{Z + (1-\sqrt{2})B}\right).
  • Substituir valores conhecidos: Z-B \approx 0{,}6145 - 0{,}1476 = 0{,}4669,\qquad \ln(Z-B)\approx \ln(0{,}4669)\approx -0{,}7610.
Z-1 \approx -0{,}3855.
  • Calcule o coeficiente multiplicador: \frac{A}{2\sqrt{2}\,B}\approx \frac{0{,}613}{2\cdot1{,}41421356\cdot 0{,}1476}\approx 1{,}468.
  • Argumentos do logaritmo: Z + (1+\sqrt{2})B \approx 0{,}6145 + 2{,}41421356\cdot 0{,}1476 \approx 0{,}9708,
Z + (1-\sqrt{2})B \approx 0{,}6145 + (-0{,}41421356)\cdot 0{,}1476 \approx 0{,}5534.
\frac{0{,}9708}{0{,}5534}\approx 1{,}7546,\qquad \ln(1{,}7546)\approx 0{,}5620.
  • Agora junte tudo: \ln\varphi \approx (-0{,}3855) - (-0{,}7610) - 1{,}468\cdot(0{,}5620).
\ln\varphi \approx 0{,}3755 - 0{,}8250 \approx -0{,}4495.

Passo 9

Calcular \varphi e a fugacidade f (conversões de unidade e interpretação final).
  • Coeficiente de fugacidade: \varphi = e^{\ln\varphi} \approx e^{-0{,}4495}\approx 0{,}638.
  • Fugacidade: f = \varphi\,P \approx 0{,}638\cdot 50\\ \mathrm{MPa} \approx 31{,}9\\ \mathrm{MPa}.Em pascal: f \approx 3{,}19\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
  • Interpretação rápida: \varphi<1 indica que, nas condições dadas, o comportamento é menos “pressurizado” do que um gás ideal (efeitos de atração/volume próprio tornam a fugacidade menor que P). O valor obtido é razoável para vapor d’água em altas pressões supercríticas usando a PR.

Resposta

\varphi \approx 0{,}638
f \approx 31{,}9\\ \mathrm{MPa}

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