Calcule a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água a
50 MPa e
.
50 MPa e
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se a fugacidade e o coeficiente de fugacidade do vapor d’água nas condições indicadas.
- Dados do enunciado:
- Dados termodinâmicos padrão (usar estes valores para a água):
- Objetivos numéricos finais: calcular
Passo 2
O que é fugacidade e qual método vamos usar (explicação didática, tipo “aula rápida”).
- Fugacidade é uma pressão “efetiva” que corrige o comportamento real de um gás em relação ao gás ideal. Para uma substância pura em uma dada
e , onde é o coeficiente de fugacidade (adimensional). Se o gás fosse ideal, e . - Para calcular
precisamos de um modelo termodinâmico (equação de estado). Escolhi a equação de Peng–Robinson (PR) porque: - é uma equação cúbica amplamente usada em problemas de alta pressão,
- é relativamente simples de aplicar na prova e dá resultados razoáveis para vapor d’água em altas pressões,
- exige apenas os dados críticos e o fator acêntrico (
).
- Vou mostrar as fórmulas do PR, calcular os parâmetros, obter o fator de compressibilidade
e usar a expressão analítica do PR para . Tudo passo a passo.
Passo 3
Fórmulas da equação de Peng–Robinson e definição de parâmetros (explicando cada símbolo).
- Constante universal dos gases:
- Parâmetros da PR:
Esses e são parâmetros na forma reduzida; tem unidades de (ou ) e tem unidades de . - Correção de temperatura (alpha):
Então
.
- Formas adimensionais úteis:
- Polinômio cúbico em
(fator de compressibilidade): - Fórmula do coeficiente de fugacidade (Peng–Robinson):
Aqui é adimensional; .
Passo 4
Calcular
,
e
(mostrando cada conta e o que cada número representa).
- Primeiro
: - Calcule
:
- Agora
:
Passo 5
Calcular
,
e
(com as contas explícitas).
- Calcula-se
: Substituindo os números (usar unidades SI: ): (o valor numérico vem da multiplicação passo a passo mostrada nas contas de análise.) - Calcula-se
:
- Ajuste de temperatura:
Passo 6
Calcular
e
(mostrando cada operação).
- Lembrete das fórmulas:
- Substituindo:
- Observação rápida:
e são adimensionais; mede força das atrações e mede volume próprio por mol relativa a .
Passo 7
Montar o polinômio cúbico em
e encontrar a raiz física (passo-a-passo numérico de teste).
- Polinômio:
Substituindo e : - Para encontrar a raiz real adequada (compressibilidade física), avaliamos o polinômio em alguns pontos:
- Em
: valor (negativo). - Em
: valor (ainda negativo, mas quase zero). - Em
: valor (positivo).
- Em
- Pelo teorema da função contínua (ou interpolação linear), a raiz está entre
e . Fazendo interpolação ou refinando a avaliação, encontra-se: - Observação física: em condição supercrítica (
e ) normalmente há apenas uma raiz real física; esse é o fator de compressibilidade do fluido nas condições dadas.
Passo 8
Calcular
usando a expressão do PR (detalhando cada termo).
- Reescrevendo a fórmula:
- Substituir valores conhecidos:
- Calcule o coeficiente multiplicador:
- Argumentos do logaritmo:
- Agora junte tudo:
Passo 9
Calcular
e a fugacidade
(conversões de unidade e interpretação final).
- Coeficiente de fugacidade:
- Fugacidade:
Em pascal: - Interpretação rápida:
indica que, nas condições dadas, o comportamento é menos “pressurizado” do que um gás ideal (efeitos de atração/volume próprio tornam a fugacidade menor que ). O valor obtido é razoável para vapor d’água em altas pressões supercríticas usando a PR.