15.14(b) Calcule a função de partição de rotação da piridina,
, na\ntemperatura ambiente. Sabe-se que
. Considere o número de simetria da molécula.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a função de partição rotacional da piridina
na temperatura ambiente. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
- constantes rotacionais (em unidades de número de onda,
): -
, -
, -
.
-
- pede-se considerar o número de simetria da molécula.
Vou assumir “temperatura ambiente” como
(valor padrão usado em termodinâmica e físico-química).
O que o enunciado pergunta, em palavras claras:
- Calcular
, a função de partição rotacional (valor adimensional) para piridina, usando as constantes rotacionais fornecidas e levando em conta o número de simetria da molécula.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas).
Para um rotor rígido não-linear (molécula que não é linear), no limite clássico
(que vale à temperatura ambiente para constantes rotacionais tão pequenas), a função de partição rotacional é dada por:
Explicando cada símbolo:
-
é a função de partição rotacional (adimensional). -
é o número de simetria rotacional da molécula (número de orientações indistinguíveis por rotação). -
é a temperatura em kelvin. -
são as chamadas temperaturas rotacionais associadas às constantes rotacionais , definidas por onde é a constante de Planck, a velocidade da luz, a constante de Boltzmann e é a constante rotacional em . - Numericamente usa-se a constante
, de modo que
Observação sobre
: a piridina tem simetria que inclui um eixo de rotação de ordem 2 (ponto de grupo
); portanto o número de simetria rotacional é
. (Em outras palavras, existe uma rotação de
que deixa a molécula indistinguível.)
Passo 3
Calcular as temperaturas rotacionais
a partir de
usando
.
Breve interpretação: essas
são muito pequenas comparadas a
, então a aproximação clássica para
é adequada.
Passo 4
Montar a expressão numérica passo a passo.
Primeiro calcule o produto
:
Depois a raiz quadrada desse produto:
Agora calcule
para
:
Finalmente, aplique a fórmula com
e
:
Calcule o quociente intermediário:
e o fator
:
Multiplicando:
Passo 5
Interpretação final e comentários práticos.
- O valor obtido é adimensional, grande (da ordem de
), o que é típico para moléculas orgânicas à temperatura ambiente: muitas microestados rotacionais são populadas. - Usei
para piridina; se por algum motivo se adotasse outro valor de (por erro de simetria), seria dividido por esse . - A aproximação clássica é segura aqui porque as temperaturas rotacionais
são muito menores que .