15.16(b) Calcule a função de partiçâo de vibração do HCN a 900 K . São dados os seguintes números de onda:
(estiramento simétrico),
(deformação angular, dois modos) e
(estiramento assimétrico).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Número de onda do estiramento simétrico:
. - Número de onda do modo de deformação angular (há dois modos idênticos):
(degenerescência 2). - Número de onda do estiramento assimétrico:
. - Temperatura:
.
- Número de onda do estiramento simétrico:
-
O que pedem:
- Calcular a função de partição vibracional total
do HCN a .
- Calcular a função de partição vibracional total
Passo 2
Apresento a fórmula que vou usar e explico cada termo, passo a passo.
- Para modos vibracionais tratados como osciladores harmônicos quânticos independentes, a contribuição de cada modo vibracional à função de partição é
Aqui:
-
é a constante de Planck (não precisamos inserir o valor numérico separado, porque vamos usar uma combinação útil abaixo); -
é a velocidade da luz; -
é o número de onda do modo em ; -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura em kelvin. - A função de partição vibracional total é o produto sobre todos os modos:
-
Quando há degenerescência (aqui o modo de
aparece duas vezes), o produto inclui esse modo tantas vezes quantas forem as suas degenerescências (equivalente a elevar à potência da degenerescência). -
Para simplificar a conversão
em kelvin, usamos o fator bem conhecido
Assim definimos o “temperatura característica” do modo
e a fórmula do termo do modo fica
Passo 3
Calculo as temperaturas características
para cada modo (mostrando contas passo a passo).
- Para
:
- Para
(modo de deformação, degenerescência 2):
- Para
:
(Arredondei os
mantendo casas suficientes para os cálculos seguintes.)
Passo 4
Calculo os expoentes
em
. Mostro cada passo numérico.
- Para o modo 1:
- Para o modo 2:
- Para o modo 3:
Passo 5
Calculo a contribuição de cada modo
usando
.
- Modo 1 (
):
- Modo 2 (
), lembrando que são dois modos idênticos (degenerescência 2):
Como há duas cópias desse modo, a contribuição total desses modos é
.
- Modo 3 (
):
Passo 6
Multiplico as contribuições para obter
.
- Produto:
Substituindo os valores numéricos:
Calculo intermediário:
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos
.