15.16(b) Calcule a função de partiçâo de vibração do HCN a 900 K . São dados os seguintes números de onda: 3311 \mathrm{~cm}^{-1} (estiramento simétrico), 712 \mathrm{~cm}^{-1} (deformação angular, dois modos) e 2097 \mathrm{~cm}^{-1} (estiramento assimétrico).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Número de onda do estiramento simétrico: \tilde{\nu}_1 = 3311\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • Número de onda do modo de deformação angular (há dois modos idênticos): \tilde{\nu}_2 = 712\\ \mathrm{cm^{-1}} (degenerescência 2).
    • Número de onda do estiramento assimétrico: \tilde{\nu}_3 = 2097\\ \mathrm{cm^{-1}}.
    • Temperatura: T = 900\\ \mathrm{K}.
  • O que pedem:
    • Calcular a função de partição vibracional total q_{\text{vib}} do HCN a 900\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresento a fórmula que vou usar e explico cada termo, passo a passo.
  • Para modos vibracionais tratados como osciladores harmônicos quânticos independentes, a contribuição de cada modo vibracional à função de partição é
q_i=\frac{1}{1-\exp\!\left(-\dfrac{h c \tilde{\nu}_i}{k T}\right)}.
Aqui:
  • h é a constante de Planck (não precisamos inserir o valor numérico separado, porque vamos usar uma combinação útil abaixo);
  • c é a velocidade da luz;
  • \tilde{\nu}_i é o número de onda do modo i em \mathrm{cm^{-1}};
  • k é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura em kelvin.
  • A função de partição vibracional total é o produto sobre todos os modos:
q_{\text{vib}}=\prod_{i} q_i.
  • Quando há degenerescência (aqui o modo de 712\\ \mathrm{cm^{-1}} aparece duas vezes), o produto inclui esse modo tantas vezes quantas forem as suas degenerescências (equivalente a elevar q_i à potência da degenerescência).
  • Para simplificar a conversão \dfrac{h c \tilde{\nu}}{k} em kelvin, usamos o fator bem conhecido
\frac{h c}{k}=1{,}4387769\\ \mathrm{K\cdot cm}.
Assim definimos o “temperatura característica” do modo
\Theta_i=\frac{h c \tilde{\nu}_i}{k}=1{,}4387769\\ \tilde{\nu}_i\quad(\text{unidade: K}),
e a fórmula do termo do modo fica
q_i=\frac{1}{1-\exp\!\left(-\dfrac{\Theta_i}{T}\right)}.

Passo 3

Calculo as temperaturas características \Theta_i para cada modo (mostrando contas passo a passo).
  • Para \tilde{\nu}_1=3311\\ \mathrm{cm^{-1}}:
\Theta_1=1{,}4387769\times 3311 = 4763{,}79\\ \mathrm{K}.
  • Para \tilde{\nu}_2=712\\ \mathrm{cm^{-1}} (modo de deformação, degenerescência 2):
\Theta_2=1{,}4387769\times 712 = 1024{,}41\\ \mathrm{K}.
  • Para \tilde{\nu}_3=2097\\ \mathrm{cm^{-1}}:
\Theta_3=1{,}4387769\times 2097 = 3017{,}12\\ \mathrm{K}.
(Arredondei os \Theta_i mantendo casas suficientes para os cálculos seguintes.)

Passo 4

Calculo os expoentes \exp(-\Theta_i/T) em T=900\\ \mathrm{K}. Mostro cada passo numérico.
  • Para o modo 1:
\frac{\Theta_1}{T}=\frac{4763{,}79}{900}=5{,}2931, \qquad \exp\!\left(-\frac{\Theta_1}{T}\right)=\exp(-5{,}2931)\approx 0{,}00503.
  • Para o modo 2:
\frac{\Theta_2}{T}=\frac{1024{,}41}{900}=1{,}1371, \qquad \exp\!\left(-\frac{\Theta_2}{T}\right)=\exp(-1{,}1371)\approx 0{,}32088.
  • Para o modo 3:
\frac{\Theta_3}{T}=\frac{3017{,}12}{900}=3{,}35235, \qquad \exp\!\left(-\frac{\Theta_3}{T}\right)=\exp(-3{,}35235)\approx 0{,}03499.

Passo 5

Calculo a contribuição de cada modo q_i usando q_i=1/(1-\exp(-\Theta_i/T)).
  • Modo 1 ( \tilde{\nu}_1=3311\\ \mathrm{cm^{-1}}):
q_1=\frac{1}{1-0{,}00503}=\frac{1}{0{,}99497}\approx 1{,}00505.
  • Modo 2 ( \tilde{\nu}_2=712\\ \mathrm{cm^{-1}}), lembrando que são dois modos idênticos (degenerescência 2):
q_2=\frac{1}{1-0{,}32088}=\frac{1}{0{,}67912}\approx 1{,}4728.
Como há duas cópias desse modo, a contribuição total desses modos é q_2^2.
  • Modo 3 ( \tilde{\nu}_3=2097\\ \mathrm{cm^{-1}}):
q_3=\frac{1}{1-0{,}03499}=\frac{1}{0{,}96501}\approx 1{,}0363.

Passo 6

Multiplico as contribuições para obter q_{\text{vib}}.
  • Produto:
q_{\text{vib}}=q_1\cdot q_2^2\cdot q_3.
Substituindo os valores numéricos:
q_{\text{vib}}\approx 1{,}00505\times (1{,}4728)^2 \times 1{,}0363.
Calculo intermediário:
(1{,}4728)^2 \approx 2{,}1689,
1{,}00505\times 2{,}1689 \approx 2{,}1799,
2{,}1799\times 1{,}0363 \approx 2{,}258.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos q_{\text{vib}}\approx 2{,}26.

Resposta

q_{\text{vib}}=2{,}26

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