15.16(a) Calcule a função de partição de vibração do CS, a 500 K. São dados os seguintes numeros de onda:
(estiramento simétrico),
(deformação angular, dois modos) e
(estiramento assimétrico).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei os números de onda do enunciado):
- O enunciado pede: calcular a função de partição vibracional do CS à temperatura
. - Dados (números de onda, em
): - estiramento simétrico:
- deformação angular:
(dois modos degenerados) - estiramento assimétrico:
- estiramento simétrico:
- Temperatura:
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Para cada modo vibracional tratado como oscilador harmônico quântico, a função de partição vibracional do modo
é
Expliquei o que cada símbolo significa:
-
é a constante de Planck ( ); -
é a velocidade da luz (em unidades compatíveis; aqui usaremos tal que em dá energia em joules via ); -
é o número de onda do modo (em ); -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura em kelvin. - Observação prática útil: ao usar
em , a combinação pode ser escrita como (temperatura característica do modo) com
A constante
vem de
e é muito prática para converter
em kelvin sem ficar mexendo com
etc.
Passo 3
Como montar a função de partição total vibracional.
- A função de partição vibracional total da molécula é o produto das contribuições de cada modo (modos independentes multiplicam as partições):
- No caso de modos degenerados (aqui o modo de
tem degenerescência 2), a contribuição total desses modos é . - Portanto:
com cada
dado pela fórmula do Passo 2.
Passo 4
Calcular as temperaturas características
para cada modo (converter
K).
Usando
(valor de
aproximado):
Explicando: cada
é a “energia térmica” equivalente ao quantum vibracional do modo
, expressa em kelvin; quando
o modo está pouco excitado, quando
o modo se comporta quase classicamente.
Passo 5
Calcular os fatores
necessários na fórmula.
Com
:
Comentário prático: esses números são pequenas frações; note que o modo de alta frequência (
) tem exponencial muito pequeno, logo sua partição estará bem próxima de 1.
Passo 6
Calcular cada
individualmente.
Usando
:
Lembrete:
corresponde a um modo; como são dois modos degenerados, usaremos
na partição total.
Passo 7
Multiplicar as contribuições para obter a função de partição vibracional total.
- Primeiro calcule a contribuição combinada dos dois modos de
:
- Agora multiplique todas as contribuições:
- Executando a multiplicação: