Considerando que a energia interna de um sistema hidrostático seja uma função de theta e P, deduza as equações:
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta}=P V_{K}-\left(C_{P}-C_{V}\right) \frac{\kappa}{\beta}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta}
para um sistema hidrostático em que a energia interna U é função de temperatura \theta e pressão P. Vamos usar as equações fundamentais da termodinâmica (diferen­cial de U), relações de Maxwell e as definições de coeficiente de dilatação térmica \beta, compressibilidade \kappa e o volume eficaz V_{K}.

Passo 2

A equação fundamental em forma diferencial é
dU = T\,dS \;-\; P\,dV.
Expressando dU em variáveis (\theta,P):
dU = \underbrace{\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)_{P}}_{=\dots}d\theta + \underbrace{\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta}}_{=\text{o que queremos}}dP.
Comparando coeficiente de dP, tem-se
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} = T\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{\theta} \;-\;P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}.

Passo 3

Pela relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{\theta} = -\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P},
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\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} = -\,T\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P} \;-\;P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}.

Passo 4

Definimos
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial \theta}\right)_{P}, \quad \kappa = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta}, \quad V_{K} = -\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\theta} = \kappa\,V.
Substituindo em
\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} = -T\,\bigl(\beta\,V\bigr) \;-\;P\bigl(-\kappa\,V\bigr) = P\,\kappa\,V \;-\;T\,\beta\,V = P\,V_{K} \;-\;T\,\beta\,V.

Passo 5

Usamos a relação de Mayer para sistemas gerais:
C_{P}-C_{V}=\frac{T\,V\,\beta^{2}}{\kappa} \;\Longrightarrow\; T\,\beta\,V=(C_{P}-C_{V})\,\frac{\kappa}{\beta}.
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\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} = P\,V_{K} \;-\;(C_{P}-C_{V})\,\frac{\kappa}{\beta}.

Resposta

\left(\frac{\partial U}{\partial P}\right)_{\theta} = P\,V_{K} - \bigl(C_{P}-C_{V}\bigr)\,\frac{\kappa}{\beta}.

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