15.2(b) Quais as populações relativas dos estados de um sistema com dois niveis quando a temperatura tende a zero?
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações que vamos usar (sem resolver ainda):
- Pergunta: “Quais as populações relativas dos estados de um sistema com dois níveis quando a temperatura tende a zero?”
- Informações que assumimos (isto é padrão para um problema desses): existem dois níveis de energia com energias
e . Sem perda de generalidade, chamo o nível 0 e o nível 1. Cada nível pode ter degeneracia (número de microestados com essa mesma energia) e . - Não foram dados valores numéricos; a resposta será em termos de
, , , e da temperatura . - O objetivo: determinar as probabilidades (populações relativas) desses dois níveis no limite
.
Passo 2
Formulação estatística: a distribuição canônica (Boltzmann) e o significado das variáveis.
- Em equilíbrio térmico com um reservatório à temperatura
, a probabilidade de ocupação de um nível de energia (considerando degeneracia ) é proporcional a , onde e é a constante de Boltzmann. - O fator
penaliza energias maiores; conta quantos microestados contribuem com essa mesma energia. - O normalizador é a função partição
, que garante que as probabilidades somem 1:
Passo 3
Escrever explicitamente
e as probabilidades para os dois níveis.
- Para os dois níveis temos
- As probabilidades (frações populacionais) são
- Para manipular melhor, defina a diferença de energia
Fatorando em obtemos Assim as probabilidades ficam mais simples:
Passo 4
Analisar o limite
(ou seja
) para diferentes casos de
.
- Caso
(isto é , nível 0 é o estado fundamental): - Então
quando . - Substituindo no fórmulas,
- Interpretação física: toda a população vai para o(s) estado(s) de menor energia (estado fundamental). Se o nível fundamental for degenerado (
), a probabilidade total 1 se distribui igualmente entre os microestados desse nível (cada microestado recebe fração ).
- Então
- Caso
(isto é , nível 1 é o fundamental): - Agora
quando (porque é positivo grande). - Neste caso a fórmula com
fatorado dá um crescimento do termo do nível 1; equivalemente trocando rótulos, obtém-se - Interpretação: toda a população vai para o nível de energia mais baixa (agora o nível 1).
- Agora
- Caso
(energias iguais, ): - Então
para qualquer . - As probabilidades independem de
: - Interpretação: quando as energias são idênticas, a ocupação no limite
fica proporcional às degenerações e .
- Então
Passo 5
Comentário prático e exemplo numérico rápido para intuição.
- Na prática, se
e a diferença for mesmo moderada, a razão fica extremamente pequena quando é bem menor que . Por exemplo, se e , a exponencial é astronomicamente pequena. - Moral: no limite frio
o sistema “congela” no(s) menor(es) nível(is) de energia; só se houver empate em energia a degeneração determina a divisão.
Resposta
Se
:
e
.
Se
:
e
.
Se
:
e
.