15.2(b) Quais as populações relativas dos estados de um sistema com dois niveis quando a temperatura tende a zero?

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Pergunta: “Quais as populações relativas dos estados de um sistema com dois níveis quando a temperatura tende a zero?”
  • Informações que assumimos (isto é padrão para um problema desses): existem dois níveis de energia com energias E_0 e E_1. Sem perda de generalidade, chamo o nível 0 e o nível 1. Cada nível pode ter degeneracia (número de microestados com essa mesma energia) g_0 e g_1.
  • Não foram dados valores numéricos; a resposta será em termos de E_0, E_1, g_0, g_1 e da temperatura T.
  • O objetivo: determinar as probabilidades (populações relativas) desses dois níveis no limite T \to 0.

Passo 2

Formulação estatística: a distribuição canônica (Boltzmann) e o significado das variáveis.
  • Em equilíbrio térmico com um reservatório à temperatura T, a probabilidade de ocupação de um nível de energia E (considerando degeneracia g) é proporcional a g\,\mathrm{e}^{-\beta E}, onde \beta=\frac{1}{k_B T},e k_B é a constante de Boltzmann.
  • O fator \mathrm{e}^{-\beta E} penaliza energias maiores; g conta quantos microestados contribuem com essa mesma energia.
  • O normalizador é a função partição Z, que garante que as probabilidades somem 1: Z=\sum_{\text{níveis}} g_i\,\mathrm{e}^{-\beta E_i}.í

Passo 3

Escrever explicitamente Z e as probabilidades para os dois níveis.
  • Para os dois níveis temos Z = g_0\,\mathrm{e}^{-\beta E_0} + g_1\,\mathrm{e}^{-\beta E_1}.
  • As probabilidades (frações populacionais) são p_0 = \frac{g_0\,\mathrm{e}^{-\beta E_0}}{Z}, \qquad p_1 = \frac{g_1\,\mathrm{e}^{-\beta E_1}}{Z}.
  • Para manipular melhor, defina a diferença de energia \Delta \equiv E_1-E_0.Fatorando \mathrm{e}^{-\beta E_0} em Z obtemos Z = \mathrm{e}^{-\beta E_0}\bigl(g_0 + g_1\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta}\bigr).Assim as probabilidades ficam mais simples: p_0 = \frac{g_0}{g_0 + g_1\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta}}, \qquad p_1 = \frac{g_1\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta}}{g_0 + g_1\,\mathrm{e}^{-\beta\Delta}}.

Passo 4

Analisar o limite T\to 0 (ou seja \beta\to +\infty) para diferentes casos de \Delta.
  • Caso \Delta>0 (isto é E_1>E_0, nível 0 é o estado fundamental):
    • Então \mathrm{e}^{-\beta\Delta}\to 0 quando \beta\to\infty.
    • Substituindo no fórmulas, p_0 \to \frac{g_0}{g_0 + g_1\cdot 0} = 1, \qquad p_1 \to 0.
    • Interpretação física: toda a população vai para o(s) estado(s) de menor energia (estado fundamental). Se o nível fundamental for degenerado ( g_0>1), a probabilidade total 1 se distribui igualmente entre os microestados desse nível (cada microestado recebe fração 1/g_0).
  • Caso \Delta<0 (isto é E_1<E_0, nível 1 é o fundamental):
    • Agora \mathrm{e}^{-\beta\Delta}\to +\infty quando \beta\to\infty (porque -\beta\Delta é positivo grande).
    • Neste caso a fórmula com E_0 fatorado dá um crescimento do termo do nível 1; equivalemente trocando rótulos, obtém-se p_1 \to 1, \qquad p_0 \to 0.
    • Interpretação: toda a população vai para o nível de energia mais baixa (agora o nível 1).
  • Caso \Delta=0 (energias iguais, E_1=E_0):
    • Então \mathrm{e}^{-\beta\Delta}=1 para qualquer T.
    • As probabilidades independem de T: p_0 = \frac{g_0}{g_0+g_1}, \qquad p_1 = \frac{g_1}{g_0+g_1}.
    • Interpretação: quando as energias são idênticas, a ocupação no limite T\to0 fica proporcional às degenerações g_0 e g_1.

Passo 5

Comentário prático e exemplo numérico rápido para intuição.
  • Na prática, se E_1>E_0 e a diferença \Delta=E_1-E_0 for mesmo moderada, a razão \frac{p_1}{p_0} = \frac{g_1}{g_0}\,\mathrm{e}^{-\Delta/(k_B T)}fica extremamente pequena quando T é bem menor que \Delta/k_B. Por exemplo, se \Delta=1\\ \text{eV} e T=1\\ \text{K}, a exponencial é astronomicamente pequena.
  • Moral: no limite frio T\to0 o sistema “congela” no(s) menor(es) nível(is) de energia; só se houver empate em energia a degeneração determina a divisão.

Resposta

Se E_1>E_0: p_0 \to 1 e p_1 \to 0.
Se E_1<E_0: p_1 \to 1 e p_0 \to 0.
Se E_1=E_0: p_0 = \dfrac{g_0}{g_0+g_1} e p_1 = \dfrac{g_1}{g_0+g_1}.

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