15.7(a) Em que proporçao o numero de configurações acessiveis aumenta quando se adicionam 100 J de energia, a volume constante, a um sistema que contem 1 mol de particulas a 298 K .

Passo 1

O enunciado pede: “Em que proporção o número de configurações acessíveis aumenta quando se adicionam 100 J de energia, a volume constante, a um sistema que contém 1 mol de partículas a 298 K.”
Informações dadas:
  • Energia adicionada: \Delta U = 100\\ \text{J}.
  • Processo a volume constante (logo nenhum trabalho P\,\Delta V é realizado).
  • Temperatura do sistema: T = 298\\ \text{K}.
  • Sistema contém 1 mol de partículas (informação sobre a escala, mas a fórmula que usaremos não exige explicitamente N neste passo).
    O que se deve calcular: a razão entre o número de configurações acessíveis após a adição de energia e o número antes, ou seja \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}.

Passo 2

Apresentar a relação entre entropia e número de microestados (fórmula de Boltzmann):
S = k \ln \Omega,
onde:
  • S é a entropia do sistema (em \text{J/K});
  • k é a constante de Boltzmann, k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K};
  • \Omega é o número de configurações (microestados) acessíveis.
Se o sistema passa de um estado 1 para um estado 2, subtraindo as duas expressões obtemos:
\Delta S = S_2 - S_1 = k\ln\Omega_2 - k\ln\Omega_1 = k\ln\!\left(\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}\right).
Isolando a razão de microestados:
\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \exp\!\left(\dfrac{\Delta S}{k}\right).
Portanto, para achar a proporção pedida precisamos calcular \Delta S e então aplicar a expressão acima.

Passo 3

Calcular a variação de entropia \Delta S ao adicionar energia a volume constante. Explicação física e fórmula usada:
  • Para uma adição de calor reversível \delta Q_{\rm rev}, a definição termodinâmica é \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\rm rev}}{T}.
  • A volume constante não há trabalho de expansão, então a energia adicionada como calor \Delta Q_{\rm rev} é igual à variação de energia interna \Delta U (ou seja, \Delta Q_{\rm rev}=\Delta U), desde que o processo seja quasiestático/reversível para usar a fórmula da entropia.
    Logo:
\Delta S = \dfrac{\Delta Q_{\rm rev}}{T} = \dfrac{\Delta U}{T}.
Substituindo os números fornecidos:
\Delta S = \dfrac{100\\ \text{J}}{298\\ \text{K}} = 0{,}3355704698\\ \text{J/K} \approx 0{,}3356\\ \text{J/K}.

Passo 4

Calcular o expoente \dfrac{\Delta S}{k} que aparece em \dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}. Usando k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \text{J/K}:
\dfrac{\Delta S}{k} = \dfrac{0{,}3355704698}{1{,}380649\times10^{-23}} \approx 2{,}43\times10^{22}.
Este número é gigantesco: \dfrac{\Delta S}{k} é da ordem de 10^{22}.

Passo 5

Calcular a razão de microestados e dar uma forma inteligível do resultado. Pela fórmula do Passo 2:
\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1} = \exp\!\left(\dfrac{\Delta S}{k}\right) = \exp\!\left(2{,}43\times10^{22}\right).
Essa quantidade é absolutamente inimaginável numericamente — o valor em base 10 pode ser escrito aproximadamente como
\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}\approx 10^{1{,}055\times10^{22}},
ou seja, um 1 seguido por aproximadamente 1{,}055\times10^{22} zeros. Em palavras: mesmo um acréscimo de energia tão pequeno quanto 100 J em um sistema macroscópico aumenta o número de microestados por um fator extremamente, extremamente grande.

Passo 6

Interpretação final curta e motivadora: isso mostra que pequenas mudanças de energia em sistemas macroscópicos correspondem a enormes aumentos na contagem de microestados — por isso a entropia é uma grandeza tão poderosa para caracterizar sistemas com número enorme de partículas. Vai bem nos estudos — essa é uma conclusão clássica e útil de decorar.

Resposta

\dfrac{\Omega_2}{\Omega_1}=\exp\!\left(\dfrac{\Delta S}{k}\right)=\exp\!\left(2{,}43\times10^{22}\right)\approx10^{1{,}055\times10^{22}}

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