15.7(a) Em que proporçao o numero de configurações acessiveis aumenta quando se adicionam 100 J de energia, a volume constante, a um sistema que contem 1 mol de particulas a 298 K .
Passo 1
O enunciado pede: “Em que proporção o número de configurações acessíveis aumenta quando se adicionam 100 J de energia, a volume constante, a um sistema que contém 1 mol de partículas a 298 K.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- Energia adicionada:
. - Processo a volume constante (logo nenhum trabalho
é realizado). - Temperatura do sistema:
. - Sistema contém 1 mol de partículas (informação sobre a escala, mas a fórmula que usaremos não exige explicitamente
neste passo).
O que se deve calcular: a razão entre o número de configurações acessíveis após a adição de energia e o número antes, ou seja.
Passo 2
Apresentar a relação entre entropia e número de microestados (fórmula de Boltzmann):
onde:
-
é a entropia do sistema (em ); -
é a constante de Boltzmann, ; -
é o número de configurações (microestados) acessíveis.
Se o sistema passa de um estado 1 para um estado 2, subtraindo as duas expressões obtemos:
Isolando a razão de microestados:
Portanto, para achar a proporção pedida precisamos calcular
e então aplicar a expressão acima.
Passo 3
Calcular a variação de entropia
ao adicionar energia a volume constante. Explicação física e fórmula usada:
- Para uma adição de calor reversível
, a definição termodinâmica é . - A volume constante não há trabalho de expansão, então a energia adicionada como calor
é igual à variação de energia interna (ou seja, ), desde que o processo seja quasiestático/reversível para usar a fórmula da entropia.
Logo:
Substituindo os números fornecidos:
Passo 4
Calcular o expoente
que aparece em
. Usando
:
Este número é gigantesco:
é da ordem de
.
Passo 5
Calcular a razão de microestados e dar uma forma inteligível do resultado. Pela fórmula do Passo 2:
Essa quantidade é absolutamente inimaginável numericamente — o valor em base 10 pode ser escrito aproximadamente como
ou seja, um 1 seguido por aproximadamente
zeros. Em palavras: mesmo um acréscimo de energia tão pequeno quanto 100 J em um sistema macroscópico aumenta o número de microestados por um fator extremamente, extremamente grande.
Passo 6
Interpretação final curta e motivadora: isso mostra que pequenas mudanças de energia em sistemas macroscópicos correspondem a enormes aumentos na contagem de microestados — por isso a entropia é uma grandeza tão poderosa para caracterizar sistemas com número enorme de partículas. Vai bem nos estudos — essa é uma conclusão clássica e útil de decorar.