3.15(a)
Calculate the Carnot efficiency of a primitive steam engine operating on steam at 100^{\circ} \mathrm{C} and discharging at 60^{\circ} \mathrm{C}. (b) Repeat the calculation for a modern steam turbine that operates with steam at 300^{\circ} \mathrm{C} and discharges at 80^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a eficiência de Carnot para duas máquinas térmicas com temperaturas de entrada (quente) e saída (fria) dadas. Os dados fornecidos são:
  • Caso (a): calor fornecido a vapor a 100^\circ\mathrm{C} e rejeitado a 60^\circ\mathrm{C}.
  • Caso (b): calor fornecido a vapor a 300^\circ\mathrm{C} e rejeitado a 80^\circ\mathrm{C}.
As perguntas são:
(a) Calcular a eficiência de Carnot para o motor primitivo com temperaturas 100^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}.
(b) Repetir o cálculo para a turbina moderna com temperaturas 300^\circ\mathrm{C} e 80^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Apresentar a fórmula e explicar a teoria necessária (a “aula” curta).
  • A eficiência máxima teórica de uma máquina térmica operando entre duas temperaturas é a eficiência de Carnot, dada por:
\eta = 1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
Aqui:
  • \eta é a eficiência (fração da energia térmica convertida em trabalho),
  • T_{\text{quente}} é a temperatura do reservatório quente em kelvin (K),
  • T_{\text{fria}} é a temperatura do reservatório frio em kelvin (K).
  • Por que usar kelvin? Porque a fórmula usa temperaturas absolutas; a razão entre temperaturas só faz sentido se as temperaturas estiverem na escala absoluta. Para converter graus Celsius para kelvin usa-se:
T(\text{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Sempre some 273{,}15 porque 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Converter as temperaturas dos dois casos para kelvin (faço as contas passo a passo).
  • Caso (a): T_{\text{quente}} = 100^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{\text{quente}} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
T_{\text{fria}} = 60^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{\text{fria}} = 60 + 273{,}15 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Caso (b): T_{\text{quente}} = 300^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{\text{quente}} = 300 + 273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
T_{\text{fria}} = 80^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{\text{fria}} = 80 + 273{,}15 = 353{,}15\\ \mathrm{K}.
(Fica a dica: decorar a soma com 273{,}15 ajuda a não errar na prova.)

Passo 4

Calcular a eficiência de Carnot do caso (a) com substituição direta e explicar cada etapa aritmética.
A fórmula:
\eta = 1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
Substituindo os valores do caso (a):
\eta_a = 1 - \frac{333{,}15}{373{,}15}.
Agora a divisão: calcule \dfrac{333{,}15}{373{,}15}. Uma forma prática sem calculadora é notar a diferença 373{,}15-333{,}15=40{,}0 e dividir, ou fazer aproximação decimal. Fazendo a divisão:
\frac{333{,}15}{373{,}15}\approx 0{,}8928.
Portanto
\eta_a \approx 1 - 0{,}8928 = 0{,}1072.
Convertendo para porcentagem:
\eta_a \approx 0{,}1072 \times 100\% = 10{,}72\%.
Interpretação curta: a eficiência máxima teórica para um motor entre 100^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C} é cerca de 10{,}7\%. Não espere uma máquina real ser melhor do que isso.

Passo 5

Calcular a eficiência de Carnot do caso (b) com substituição direta e explicação das contas.
Usando a mesma fórmula:
\eta_b = 1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}} = 1 - \frac{353{,}15}{573{,}15}.
Fazendo a divisão aproximada:
\frac{353{,}15}{573{,}15}\approx 0{,}6163.
Logo
\eta_b \approx 1 - 0{,}6163 = 0{,}3837.
Em porcentagem:
\eta_b \approx 0{,}3837 \times 100\% = 38{,}37\%.
Interpretação: aumentando a temperatura do vapor de 100^\circ\mathrm{C} para 300^\circ\mathrm{C} e mantendo o rejeito relativamente frio, a eficiência máxima teórica sobe bastante (aqui para perto de 38{,}4\%). Isso explica por que turbinas modernas operam a temperaturas muito maiores.

Passo 6

Resumo conceitual final e dica de prova.
  • A eficiência de Carnot é um limite superior; máquinas reais têm eficiências menores por irreversibilidades, atritos, perdas térmicas, etc.
  • Em prova: sempre converta para kelvin antes de aplicar \eta = 1 - T_c/T_h. Se esquecer de converter, o resultado estará errado.
  • Arredonde com critério: normalmente duas casas percentuais são suficientes (a menos que a questão peça precisão maior).

Resposta

(a) \eta = 0,1072 \approx 10{,}72\%
(b) \eta = 0,3837 \approx 38{,}37\%

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