15.9(b) A molécula de
é um rotor assimétrico com as seguintes constantes rotacionais:
e
. Calcule a função de partição rotacional dessa molécula a (a)
, (b)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- Constantes rotacionais (em
): -
- Constantes rotacionais (em
- O enunciado pede a função de partição rotacional da molécula de
em: - (a)
(ou seja ); - (b)
(ou seja ).
- (a)
Passo 2
Explicação didática da fórmula que vamos usar e das grandezas envolvidas.
- Para uma molécula não linear (como
, rotor assimétrico), no limite clássico de altas temperaturas a função de partição rotacional é aproximadamente
- Aqui
é adimensional. -
é o número de simetria da molécula (conta quantas rotações geram configurações indistinguíveis). Para a água ( , simetria ) vale porque a rotação de troca os dois átomos de H. -
é a temperatura em kelvin. -
são as temperaturas rotacionais associadas às constantes rotacionais (em ), definidas por
onde
é a constante de Planck,
a velocidade da luz e
a constante de Boltzmann. A constante
tem valor numérico
- Observação prática: se
está em , então fica em kelvin por multiplicação por .
Passo 3
Calcular as temperaturas rotacionais
a partir de
.
- Fórmula:
com
em
.
- Cálculos:
-
(Expliquei como multiplicar: multiplica-se cada
pelo fator
.)
Passo 4
Preparar a parte que será usada no denominador da fórmula:
.
- Produto:
- Raiz quadrada:
Passo 5
Explicar o numerador:
. Vamos calcular para
.
-
Constantes:
-
. -
para . - Portanto
.
-
-
Calcular
para : -
. -
-
-
Numerador completo:
Passo 6
Calcular
em
juntando numerador e denominador.
- Fórmula novamente:
- Substituindo os números calculados:
- Interpretação curta: o valor é adimensional; é razoável (maior que 1) — estamos no regime onde vários estados rotacionais são acessíveis.
Passo 7
Repetir o cálculo para
(
).
-
Primeiro
: -
. -
-
-
Numerador:
-
Denominador é o mesmo (pois
não mudam com ): -
Assim
Passo 8
Breve nota sobre validade da aproximação usada.
- Usei a expressão clássica de altas temperaturas para um rotor não linear. Essa aproximação é adequada quando
é maior que as temperaturas rotacionais . Aqui são da ordem de – , e as temperaturas usadas ( e ) são muito maiores, portanto a aproximação clássica é válida e os resultados são confiáveis para uso em problemas de termodinâmica/estatística nesta faixa.