15.8(b) O comprimento da ligação do
é de
. Use a aproximação pra altas temperaturas para calcular a função de partição rotacional dessa molecula a 300 K .
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a função de partição rotacional de
a
usando a aproximação para altas temperaturas. As informações fornecidas são:
- Comprimento da ligação:
(peguei esse valor do enunciado). - Temperatura:
. - É uma molécula diatômica homonuclear (
), portanto o número de simetria nuclear é .
Dados físicos e constantes que vou usar:
- Unidade de massa atômica:
. - Massa atômica aproximada do nitrogênio:
. - Constante de Boltzmann:
. - Constante de Planck reduzida:
.
Passo 2
Escrever a expressão exata e a aproximação de interesse.
A função de partição rotacional quântica de um rotor rígido (níveis
) é
onde os níveis de energia são
e
é o momento de inércia da molécula.
No limite de altas temperaturas (quando
é muito maior que o espaçamento entre níveis rotacionais) a soma pode ser aproximada por uma integral e resulta na forma simples
onde definimos a chamada temperatura rotacional
Aqui:
-
é a função de partição rotacional (adimensional). -
é o número de simetria (para , ). -
tem unidade de temperatura ( ) e mede o espaçamento energético típico entre níveis rotacionais.
Passo 3
Calcular o momento de inércia
da
.
Para um diatômico com átomos idênticos, o momento de inércia em torno do centro de massa é
onde
é a massa reduzida. Para massas idênticas
,
Calcular
em kg:
Portanto
Converter o comprimento de ligação para metros:
Calcular
:
Logo o momento de inércia é
Passo 4
Calcular a temperatura rotacional
.
Usando a definição
substitui-se
,
do passo anterior e
.
Primeiro
:
Denominador:
Agora
Observação: a mesma
pode ser escrita também como
(mesma quantidade, apenas usando
).
Passo 5
Aplicar a aproximação de altas temperaturas e calcular
.
A expressão aproximada é
Substituindo
,
e
,
(Com os valores mais precisos usados nos passos anteriores o resultado fica próximo de
; arredondando,
.)
Passo 6
Verificação da validade da aproximação e observações finais.
A aproximação de altas temperaturas é válida quando
. Aqui
e
, portanto
, bem dentro do regime de alta temperatura — a aproximação é totalmente adequada.
Dica prática para prova: calcule primeiro
(a conta é curta) e compare com
. Se
já é seguro usar
.