15.8(b) O comprimento da ligação do \mathrm{N}_{2} é de 109,75 \mathrm{pm}. Use a aproximação pra altas temperaturas para calcular a função de partição rotacional dessa molecula a 300 K .

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a função de partição rotacional de \mathrm{N}_2 a 300\\ \mathrm{K} usando a aproximação para altas temperaturas. As informações fornecidas são:
  • Comprimento da ligação: r=109{,}75\\ \mathrm{pm} (peguei esse valor do enunciado).
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • É uma molécula diatômica homonuclear ( \mathrm{N}_2), portanto o número de simetria nuclear é \sigma=2.
Dados físicos e constantes que vou usar:
  • Unidade de massa atômica: 1\\ \mathrm{u}=1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Massa atômica aproximada do nitrogênio: m_{\mathrm{N}}=14\\ \mathrm{u}.
  • Constante de Boltzmann: k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Constante de Planck reduzida: \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.

Passo 2

Escrever a expressão exata e a aproximação de interesse.
A função de partição rotacional quântica de um rotor rígido (níveis J=0,1,2,\dots) é
q_{\text{rot}}=\sum_{J=0}^{\infty}(2J+1)\,e^{-E_J/(k_B T)},
onde os níveis de energia são
E_J=\frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1),
e I é o momento de inércia da molécula.
No limite de altas temperaturas (quando k_B T é muito maior que o espaçamento entre níveis rotacionais) a soma pode ser aproximada por uma integral e resulta na forma simples
q_{\text{rot}}\approx\frac{T}{\sigma\,\Theta_{\text{rot}}},
onde definimos a chamada temperatura rotacional
\Theta_{\text{rot}}=\frac{\hbar^2}{2 I k_B}.
Aqui:
  • q_{\text{rot}} é a função de partição rotacional (adimensional).
  • \sigma é o número de simetria (para \mathrm{N}_2, \sigma=2).
  • \Theta_{\text{rot}} tem unidade de temperatura ( \mathrm{K}) e mede o espaçamento energético típico entre níveis rotacionais.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I da \mathrm{N}_2.
Para um diatômico com átomos idênticos, o momento de inércia em torno do centro de massa é
I=\mu r^2,
onde \mu é a massa reduzida. Para massas idênticas m,
\mu=\frac{m}{2}.
Calcular m em kg:
m_{\mathrm{N}}=14\\ \mathrm{u}=14\cdot(1{,}660539\times10^{-27})\\ \mathrm{kg} =2{,}3247546\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Portanto
\mu=\frac{m_{\mathrm{N}}}{2}=1{,}1623773\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Converter o comprimento de ligação para metros:
r=109{,}75\\ \mathrm{pm}=109{,}75\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=1{,}0975\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Calcular r^2:
r^2=(1{,}0975\times10^{-10})^2=1{,}2046\times10^{-20}\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{aprox.}).
Logo o momento de inércia é
I=\mu r^2 =(1{,}1623773\times10^{-26})\cdot(1{,}2046\times10^{-20})\\ \mathrm{kg\,m^2} \approx1{,}4001\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\,m^2}.

Passo 4

Calcular a temperatura rotacional \Theta_{\text{rot}}.
Usando a definição
\Theta_{\text{rot}}=\frac{\hbar^2}{2 I k_B},
substitui-se \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, I do passo anterior e k_B.
Primeiro \hbar^2:
\hbar^2=(1{,}054571817\times10^{-34})^2\approx1{,}11212\times10^{-68}\\ \mathrm{J^2 s^2}.
Denominador:
2 I k_B =2\cdot(1{,}4001\times10^{-46})\cdot(1{,}380649\times10^{-23}) \approx3{,}8659\times10^{-69}\\ \mathrm{J\,s^2\;K^{-1}}\\ (\text{unidades combinadas}).
Agora
\Theta_{\text{rot}}=\frac{1{,}11212\times10^{-68}}{3{,}8659\times10^{-69}}\\ \mathrm{K} \approx2{,}88\\ \mathrm{K}.
Observação: a mesma \Theta_{\text{rot}} pode ser escrita também como \Theta_{\text{rot}}=h^2/(8\pi^2 I k_B) (mesma quantidade, apenas usando h=2\pi\hbar).

Passo 5

Aplicar a aproximação de altas temperaturas e calcular q_{\text{rot}}.
A expressão aproximada é
q_{\text{rot}}\approx\frac{T}{\sigma\,\Theta_{\text{rot}}}.
Substituindo T=300\\ \mathrm{K}, \sigma=2 e \Theta_{\text{rot}}\approx2{,}88\\ \mathrm{K},
q_{\text{rot}}\approx\frac{300}{2\cdot 2{,}88} =\frac{300}{5{,}76}\approx52{,}08.
(Com os valores mais precisos usados nos passos anteriores o resultado fica próximo de 52{,}15; arredondando, q_{\text{rot}}\approx52{,}1.)

Passo 6

Verificação da validade da aproximação e observações finais.
A aproximação de altas temperaturas é válida quando T\gg\Theta_{\text{rot}}. Aqui \Theta_{\text{rot}}\approx2{,}88\\ \mathrm{K} e T=300\\ \mathrm{K}, portanto T/\Theta_{\text{rot}}\approx104, bem dentro do regime de alta temperatura — a aproximação é totalmente adequada.
Dica prática para prova: calcule primeiro \Theta_{\text{rot}} (a conta é curta) e compare com T. Se T\gtrsim 10\Theta_{\text{rot}} já é seguro usar q_{\text{rot}}\approx T/(\sigma\Theta_{\text{rot}}).

Resposta

q_{\text{rot}}\approx52{,}1

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