15.2(a) Quais as populagões relativas dos estados de um sistema com dois niveis quando a temperatura for infinitamente elevada?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a população relativa dos estados de um sistema com dois níveis quando a temperatura tende a infinito. Informações/assunções dadas ou necessárias (não resolvo ainda):
  • O sistema tem dois níveis de energia, que chamarei de E_1 e E_2.
  • Cada nível pode ter uma degenerescência (número de microestados com a mesma energia), que chamarei de g_1 e g_2.
  • A temperatura será levada ao limite \,T\to\infty.\n
    O enunciado não fornece valores numéricos de E_1,E_2,g_1,g_2, então vou dar a resposta no caso geral (com degenerescências) e depois no caso usual em que os níveis são não degenerados ( g_1=g_2=1).

Passo 2

Apresentando a ferramenta que usamos: distribuição de Boltzmann. Para um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T, a probabilidade (população relativa) de encontrar o sistema num nível de energia E_i com degenerescência g_i é
P_i=\frac{g_i\,e^{-E_i/(k_B T)}}{Z},
onde:
  • P_i é a fração ou probabilidade de ocupação do nível i;
  • g_i é a degenerescência do nível i (número de microestados com energia E_i);
  • k_B é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta;
  • Z é a função partição (normalização), dada por
Z=\sum_{j} g_j\,e^{-E_j/(k_B T)}.
Explicando na boa: e^{-E_i/(k_B T)} dá a “preferência energética” — níveis mais baixos têm mais peso a temperaturas baixas — e g_i conta quantos microestados correspondem a esse nível. O Z garante que as probabilidades somem 1.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente para os dois níveis. Chamando-os 1 e 2:
P_1=\frac{g_1\,e^{-E_1/(k_B T)}}{g_1\,e^{-E_1/(k_B T)}+g_2\,e^{-E_2/(k_B T)}},
P_2=\frac{g_2\,e^{-E_2/(k_B T)}}{g_1\,e^{-E_1/(k_B T)}+g_2\,e^{-E_2/(k_B T)}}.
Também é útil a razão das populações:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{g_1}{g_2}\,e^{-(E_1-E_2)/(k_B T)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite \,T\to\infty. Repare que, para qualquer energia finita E,
\lim_{T\to\infty} e^{-E/(k_B T)} = 1,
porque o expoente tende a zero. Substituindo isso nas expressões de P_1 e P_2 obtemos
\lim_{T\to\infty} P_1 = \frac{g_1}{g_1+g_2}, \qquad \lim_{T\to\infty} P_2 = \frac{g_2}{g_1+g_2}.
Intuição: em temperatura muito alta a energia não “pesa” mais — todas as microestados acessíveis são praticamente igualmente prováveis — portanto a ocupação de cada nível é proporcional ao número de microestados desse nível (sua degenerescência).

Passo 5

Caso especial útil (o mais comum em exercícios): se os dois níveis forem não degenerados, isto é g_1=g_2=1, então
\lim_{T\to\infty} P_1 = \frac{1}{2},\qquad \lim_{T\to\infty} P_2 = \frac{1}{2}.
Ou seja, cada nível fica populado igualmente — razão 1:1.

Passo 6

Resumo prático para a prova (leva na cabeça): escreva a distribuição de Boltzmann, faça \,T\to\infty e lembre que os expoentes viram 1. Se a questão não menciona degenerescência, assume-se níveis não degenerados e resposta é 1/2 para cada nível. Dá para aplicar isso rapidinho na hora da prova sem cálculo pesado — só saber o argumento do limite.

Resposta

\displaystyle P_1=\frac{g_1}{g_1+g_2},\qquad P_2=\frac{g_2}{g_1+g_2}\n
(se g_1=g_2=1 — níveis não degenerados: \displaystyle P_1=P_2=\tfrac{1}{2})

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