15.2(a) Quais as populagões relativas dos estados de um sistema com dois niveis quando a temperatura for infinitamente elevada?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a população relativa dos estados de um sistema com dois níveis quando a temperatura tende a infinito. Informações/assunções dadas ou necessárias (não resolvo ainda):
- O sistema tem dois níveis de energia, que chamarei de
e . - Cada nível pode ter uma degenerescência (número de microestados com a mesma energia), que chamarei de
e . - A temperatura será levada ao limite
.\n
O enunciado não fornece valores numéricos de, então vou dar a resposta no caso geral (com degenerescências) e depois no caso usual em que os níveis são não degenerados ( ).
Passo 2
Apresentando a ferramenta que usamos: distribuição de Boltzmann. Para um sistema em equilíbrio térmico à temperatura
, a probabilidade (população relativa) de encontrar o sistema num nível de energia
com degenerescência
é
onde:
-
é a fração ou probabilidade de ocupação do nível ; -
é a degenerescência do nível (número de microestados com energia ); -
é a constante de Boltzmann; -
é a temperatura absoluta; -
é a função partição (normalização), dada por
Explicando na boa:
dá a “preferência energética” — níveis mais baixos têm mais peso a temperaturas baixas — e
conta quantos microestados correspondem a esse nível. O
garante que as probabilidades somem 1.
Passo 3
Agora escrevemos explicitamente para os dois níveis. Chamando-os 1 e 2:
Também é útil a razão das populações:
Passo 4
Agora tomamos o limite
. Repare que, para qualquer energia finita
,
porque o expoente tende a zero. Substituindo isso nas expressões de
e
obtemos
Intuição: em temperatura muito alta a energia não “pesa” mais — todas as microestados acessíveis são praticamente igualmente prováveis — portanto a ocupação de cada nível é proporcional ao número de microestados desse nível (sua degenerescência).
Passo 5
Caso especial útil (o mais comum em exercícios): se os dois níveis forem não degenerados, isto é
, então
Ou seja, cada nível fica populado igualmente — razão
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (leva na cabeça): escreva a distribuição de Boltzmann, faça
e lembre que os expoentes viram
. Se a questão não menciona degenerescência, assume-se níveis não degenerados e resposta é
para cada nível. Dá para aplicar isso rapidinho na hora da prova sem cálculo pesado — só saber o argumento do limite.
Resposta
(se