17-30C Um gás inicialmente a uma velocidade subsônica entra em um duto convergente adiabático. Discuta como isso irá alterar (a) a velocidade, (b) a temperatura, (c) a pressio, e (d) a densidade do fluido.
Passo 1
O enunciado diz que um gás, inicialmente com velocidade subsônica, entra num duto convergente que é adiabático. As perguntas são: como vão mudar, ao longo do duto convergente, (a) a velocidade, (b) a temperatura, (c) a pressão e (d) a densidade do fluido?
Informações relevantes fornecidas:
A velocidade inicial é subsônica (isto é, o número de Mach inicial satisfaz M<1).
O duto é adiabático (não há troca de calor com o ambiente).
Não foi especificado atrito/irreversibilidades; vou explicar o caso ideal (adiabático e reversível — isentrópico) como método principal e, no final, comentar diferenças se houver atrito/irreversibilidades.
Nada mais foi dado explicitamente.
Passo 2
Primeiro passo técnico: entender como a geometria (redução de área) afeta a velocidade numa descrição 1‑D de fluxo compressível. Usamos conservação de massa (continuidade) e a relação entre pressão e densidade para um processo adiabático e reversível.
Definições e notação:
A = área da seção transversal do duto.
\rho = densidade do fluido (estática).
V = velocidade (estática).
p = pressão estática.
a = velocidade do som local.
M=\dfrac{V}{a} = número de Mach.
\gamma = razão de capacidades térmicas (constante do gás).
Esta fórmula é central: relaciona pequena variação de área com variação de velocidade, em termos de M.
Passo 3
Interpretação imediata para velocidade (resposta a (a)):
Da equação \displaystyle \frac{dA}{A}=(M^2-1)\frac{dV}{V}:
Se o fluxo é subsônico (M<1) então M^2-1<0.
No duto convergente a área diminui, portanto \dfrac{dA}{A}<0.
Para satisfazer (3) com M^2-1<0 e \dfrac{dA}{A}<0, deve ocorrer \dfrac{dV}{V}>0: a velocidade aumenta.
Resposta didática/intuída: num regime subsônico uma convergência acelera o fluido — a área menor “empurra” o fluido a acelerar para manter a massa que passa por segundo.
Passo 4
Temperatura (resposta a (b)). Explicação física e fórmula:
Energeticamente, para um duto adiabático sem trabalho além do transporte do fluido, a entalpia total (ou temperatura total) permanece constante em fluxo isentrópico. Definimos temperatura total (estagnation) T_0 por:
T_0 = T\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right),
onde T é a temperatura estática local. Em regime adiabático reversível e sem trabalho, T_0 é constante ao longo do duto.
Como vimos no Passo 3, numa convergência com fluxo subsônico V (e portanto M) aumenta. Se M aumenta e T_0 é constante, então o fator 1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2 aumenta, e por consequência a temperatura estática T deve diminuir para manter T_0 constante:
T = \frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2}.
Resumo didático: ao acelerar o fluxo converte‑se energia interna (temperatura) em energia cinética; a temperatura estática cai.
Passo 5
Pressão (resposta a (c)). Fórmulas isentrópicas e conclusão:
Para um processo isentrópico existem relações padrão entre as quantidades estáticas e as totais:
onde p_0,\rho_0 são pressão e densidade totais (estagnation). Reescrevendo para p:
p = p_0\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\tfrac{\gamma}{\gamma-1}}.
Como M aumenta no caso subsônico que consideramos, o fator \left(1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2\right) aumenta, portanto p diminui. Intuição: na mesma linha da temperatura, parte da energia interna (pressão estática) é convertida em energia cinética.
Passo 6
Densidade (resposta a (d)). Relação direta e conclusão:
Podemos usar a relação isentrópica dada no Passo 5:
Com M aumentando, o parêntese cresce, logo \rho diminui. Alternativamente, pela equação de estado do gás ideal \rho = \dfrac{p}{R T}: tanto p quanto T diminuem, mas as potências das leis isentrópicas mostram que a densidade também cai para manter continuidade com velocidade maior.
Física simples: o fluido acelera e “se espalha” menos em massa por volume estático — a densidade cai.
Passo 7
Observações adicionais (para a prova — o que pode variar na prática)
Choking (fluxo estrangulado): se a convergência for suficiente e as condições de pressão a jusante permitirem, o número de Mach pode atingir M=1 no ponto de menor área (garganta). Nesse caso o fluxo fica “chocado” (choked) e não aumenta mais a vazão com nova redução de pressão a jusante. Isso é um efeito possível, mas só acontece quando as condições permitem aceleração até M=1.
Irreversibilidades (atrito): o enunciado disse “adabático” mas não falou em fricção. Se houver atrito (adiabático irreversível):
A temperatura total T_0 permanece praticamente constante (adiabático sem trabalho), mas a pressão total p_0 diminui (perdas irreversíveis aumentam entropia e reduzem p_0).
As tendências estáticas (velocidade aumenta, temperatura e pressão estáticas caem) geralmente permanecem, mas os valores exatos e o comportamento de p_0 e da possibilidade de atingir M=1 mudam.
Resposta
(a) A velocidade aumenta.
(b) A temperatura estática diminui.
(c) A pressão estática diminui.
(d) A densidade diminui.