17-30C Um gás inicialmente a uma velocidade subsônica entra em um duto convergente adiabático. Discuta como isso irá alterar (a) a velocidade, (b) a temperatura, (c) a pressio, e (d) a densidade do fluido.

Passo 1

O enunciado diz que um gás, inicialmente com velocidade subsônica, entra num duto convergente que é adiabático. As perguntas são: como vão mudar, ao longo do duto convergente, (a) a velocidade, (b) a temperatura, (c) a pressão e (d) a densidade do fluido?
Informações relevantes fornecidas:
  • A velocidade inicial é subsônica (isto é, o número de Mach inicial satisfaz M<1).
  • O duto é adiabático (não há troca de calor com o ambiente).
  • Não foi especificado atrito/irreversibilidades; vou explicar o caso ideal (adiabático e reversível — isentrópico) como método principal e, no final, comentar diferenças se houver atrito/irreversibilidades.
    Nada mais foi dado explicitamente.

Passo 2

Primeiro passo técnico: entender como a geometria (redução de área) afeta a velocidade numa descrição 1‑D de fluxo compressível. Usamos conservação de massa (continuidade) e a relação entre pressão e densidade para um processo adiabático e reversível.
Definições e notação:
  • A = área da seção transversal do duto.
  • \rho = densidade do fluido (estática).
  • V = velocidade (estática).
  • p = pressão estática.
  • a = velocidade do som local.
  • M=\dfrac{V}{a} = número de Mach.
  • \gamma = razão de capacidades térmicas (constante do gás).
Conservação de massa (fluxo estacionário 1‑D):
\rho A V=\text{const.}
diferenciando e dividindo por \rho A V obtemos
\frac{d\rho}{\rho}+\frac{dA}{A}+\frac{dV}{V}=0. \tag{1}
Equação de Euler (momento linear, fluxo sem fontes de corpo):
V\,dV + \frac{1}{\rho}\,dp = 0 \quad\Rightarrow\quad dp = -\rho V\,dV. \tag{2}
Para um processo adiabático reversível (isentrópico) vale dp = a^2\,d\rho. Substituindo a^2 = \dfrac{V^2}{M^2} e combinando com (2):
a^2\,d\rho = -\rho V\,dV \quad\Rightarrow\quad d\rho/\rho = -\frac{V}{a^2}\,dV = -M^2\frac{dV}{V}.
Inserindo isso em (1):
- M^2\frac{dV}{V} + \frac{dA}{A} + \frac{dV}{V} = 0
logo
\frac{dA}{A} = (M^2-1)\frac{dV}{V}. \tag{3}
Esta fórmula é central: relaciona pequena variação de área com variação de velocidade, em termos de M.

Passo 3

Interpretação imediata para velocidade (resposta a (a)):
Da equação \displaystyle \frac{dA}{A}=(M^2-1)\frac{dV}{V}:
  • Se o fluxo é subsônico ( M<1) então M^2-1<0.
  • No duto convergente a área diminui, portanto \dfrac{dA}{A}<0.
  • Para satisfazer (3) com M^2-1<0 e \dfrac{dA}{A}<0, deve ocorrer \dfrac{dV}{V}>0: a velocidade aumenta.
Resposta didática/intuída: num regime subsônico uma convergência acelera o fluido — a área menor “empurra” o fluido a acelerar para manter a massa que passa por segundo.

Passo 4

Temperatura (resposta a (b)). Explicação física e fórmula:
Energeticamente, para um duto adiabático sem trabalho além do transporte do fluido, a entalpia total (ou temperatura total) permanece constante em fluxo isentrópico. Definimos temperatura total (estagnation) T_0 por:
T_0 = T\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right),
onde T é a temperatura estática local. Em regime adiabático reversível e sem trabalho, T_0 é constante ao longo do duto.
Como vimos no Passo 3, numa convergência com fluxo subsônico V (e portanto M) aumenta. Se M aumenta e T_0 é constante, então o fator 1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2 aumenta, e por consequência a temperatura estática T deve diminuir para manter T_0 constante:
T = \frac{T_0}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2}.
Resumo didático: ao acelerar o fluxo converte‑se energia interna (temperatura) em energia cinética; a temperatura estática cai.

Passo 5

Pressão (resposta a (c)). Fórmulas isentrópicas e conclusão:
Para um processo isentrópico existem relações padrão entre as quantidades estáticas e as totais:
\frac{p_0}{p} = \left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\tfrac{\gamma}{\gamma-1}}, \qquad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\tfrac{1}{\gamma-1}},
onde p_0,\rho_0 são pressão e densidade totais (estagnation). Reescrevendo para p:
p = p_0\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\tfrac{\gamma}{\gamma-1}}.
Como M aumenta no caso subsônico que consideramos, o fator \left(1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2\right) aumenta, portanto p diminui. Intuição: na mesma linha da temperatura, parte da energia interna (pressão estática) é convertida em energia cinética.

Passo 6

Densidade (resposta a (d)). Relação direta e conclusão:
Podemos usar a relação isentrópica dada no Passo 5:
\rho = \rho_0\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\tfrac{1}{\gamma-1}}.
Com M aumentando, o parêntese cresce, logo \rho diminui. Alternativamente, pela equação de estado do gás ideal \rho = \dfrac{p}{R T}: tanto p quanto T diminuem, mas as potências das leis isentrópicas mostram que a densidade também cai para manter continuidade com velocidade maior.
Física simples: o fluido acelera e “se espalha” menos em massa por volume estático — a densidade cai.

Passo 7

Observações adicionais (para a prova — o que pode variar na prática)
  1. Choking (fluxo estrangulado): se a convergência for suficiente e as condições de pressão a jusante permitirem, o número de Mach pode atingir M=1 no ponto de menor área (garganta). Nesse caso o fluxo fica “chocado” (choked) e não aumenta mais a vazão com nova redução de pressão a jusante. Isso é um efeito possível, mas só acontece quando as condições permitem aceleração até M=1.
  2. Irreversibilidades (atrito): o enunciado disse “adabático” mas não falou em fricção. Se houver atrito (adiabático irreversível):
    • A temperatura total T_0 permanece praticamente constante (adiabático sem trabalho), mas a pressão total p_0 diminui (perdas irreversíveis aumentam entropia e reduzem p_0).
    • As tendências estáticas (velocidade aumenta, temperatura e pressão estáticas caem) geralmente permanecem, mas os valores exatos e o comportamento de p_0 e da possibilidade de atingir M=1 mudam.

Resposta

(a) A velocidade aumenta.
(b) A temperatura estática diminui.
(c) A pressão estática diminui.
(d) A densidade diminui.

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