Um sistema composto por um cilindro e pistão contém 1 kg de ar \left[C_{P}^{*}=\right. 29,3 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) ; \mathrm{MM}=29 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}] a 350 kPa e 500{ }^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} ar será isotermicamente expandido até 100 kPa em contato com uma fonte quente a 600^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que sob essas condições o ar pode ser tratado como um gás ideal, determine: (valor: \mathbf{3 , 0} )
a) O calor transferido ao sistema durante o processo;
b) O trabalho realizado pelo sistema durante o processo;
c) A entropia gerada no processo;
d) A exergia destruída no processo;
e) A eficiência de 2^{\underline{a}} lei desse processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • Massa do ar: 1\\ \text{kg}.
  • Capacidade térmica molar a pressão constante: C_{P}^{*}=29{,}3\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Massa molar do ar: \mathrm{MM}=29\\ \mathrm{g/mol}.
  • Estado inicial do ar: P_{1}=350\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=500^\circ\mathrm{C}.
  • Há uma fonte quente à temperatura 600^\circ\mathrm{C}.
  • O ar será isotermicamente expandido até P_{2}=100\\ \mathrm{kPa} (o enunciado relaciona expansão isotérmica com a fonte quente a 600^\circ\mathrm{C}).
Perguntas pedidas:
(a) O calor transferido ao sistema durante o processo;
(b) O trabalho realizado pelo sistema durante o processo;
(c) A entropia gerada no processo;
(d) A exergia destruída no processo;
(e) A eficiência da 2ª lei desse processo.
Observação sobre interpretação (hipótese necessária): o enunciado dá duas temperaturas distintas: a temperatura inicial do ar T_{1}=500^\circ\mathrm{C} e a temperatura da fonte quente 600^\circ\mathrm{C}. A interpretação que vou usar, que é a mais direta e consistente com os dados (e explicarei a razão ao escolher o método), é:
  • O sistema (o ar) está inicialmente a T_{1}=500^\circ\mathrm{C} e sofre uma expansão isotérmica mantendo a temperatura do ar constante em T_{sys}=500^\circ\mathrm{C} durante a expansão até P_2=100\\ \mathrm{kPa}.
  • O calor necessário para manter essa isoterma é fornecido por uma fonte quente cuja temperatura é T_{h}=600^\circ\mathrm{C}. Assim o calor entra da fonte a T_{h} para o sistema à temperatura T_{sys} (isto introduz irreversibilidade por transferência de calor entre corpos a temperaturas diferentes).
  • Para calcular exergia destruída precisamos de uma temperatura ambiente (estado morto). Vou assumir a temperatura ambiente padrão T_{0}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}. Essa é uma suposição comum em exercícios quando T_0 não é dada; declararei quando a usar nos cálculos.
Se preferires outra interpretação (por exemplo a expansão isoterma a 600^\circ\mathrm{C}), eu posso refazer, mas prosseguirei com a interpretação acima porque usa explicitamente os dois valores de temperatura presentes no enunciado e gera irreversibilidade que permite calcular entropia gerada e exergia destruída.

Passo 2

Calcular grandezas básicas e transformar unidades. Vou achar o número de mols n do ar e transformar temperaturas para kelvin.
  • Massa molar: \mathrm{MM}=29\\ \mathrm{g/mol}=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Número de mols:
n=\frac{\text{massa}}{\mathrm{MM}}=\frac{1{,}000\\ \mathrm{kg}}{0{,}029\\ \mathrm{kg/mol}}=34{,}48275862\\ \text{mol}.
(Usarei n\approx34{,}4828\\ \mathrm{mol} nos cálculos.)
  • Temperaturas (em kelvin):
T_{sys}=T_{1}=500^\circ\mathrm{C}=500+273{,}15=773{,}15\\ \mathrm{K},
T_{h}=600^\circ\mathrm{C}=600+273{,}15=873{,}15\\ \mathrm{K},
T_{0}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}\quad(\text{suposição para o estado morto}).çã
  • Constante universal dos gases (molar): R^{*}=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
    Vou usar estas quantidades nas fórmulas seguintes.

Passo 3

Lembrando propriedades e fórmulas importantes (aulas rápidas):
  • Para um gás ideal, num processo isotérmico (temperatura constante) vale \Delta U=0. Assim, pela 1ª lei:
Q=W,
onde Q é o calor transferido para o sistema e W é o trabalho realizado PELO sistema (convenção que trabalho saindo do sistema é positivo).
  • O trabalho em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal é
W = nR^{*}T\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Como a pressão e volume obedecem PV=\text{const} para isoterma, usa-se a forma em pressões:
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right),
portanto
W = nR^{*}T\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
  • Entropia do sistema para um gás ideal entre dois estados pode ser relacionada ao calor reversível. Para isoterma \Delta S_{sys}=\dfrac{Q_{rev}}{T_{sys}}. Aqui o processo do sistema é isotérmico e o aumento de entropia do sistema será \Delta S_{sys}=Q/T_{sys} (mesmo se o calor for recebido de uma fonte a temperatura diferente; esse Q é o calor recebido pelo sistema).
  • Entropia gerada (irreversibilidades) é
S_{gen}=\Delta S_{total}=\Delta S_{sys}+\Delta S_{reservoirs}.
No caso em que todo o calor Q vem de um reservatório à temperatura T_h, a variação de entropia do reservatório é -Q/T_h. Então
S_{gen}=\Delta S_{sys}-\frac{Q}{T_h} = Q\left(\frac{1}{T_{sys}}-\frac{1}{T_h}\right).
Essa expressão é muito útil e direta quando há apenas um reservatório quente fornecendo o calor.
  • Exergia destruída (ou exergia perdida por irreversibilidades) relaciona-se com a entropia gerada por
\text{Ex}_{\text{destruída}}=T_{0}\,S_{gen},í
com T_0 a temperatura do meio ambiente (estado morto). É a energia útil que deixou de ser extraída por causa das irreversibilidades.
  • Eficiência de 2ª lei (eficiência exergética) — definição que vou usar: razão entre a exergia útil realmente aproveitada e a exergia que foi disponibilizada ao sistema. Para um processo que recebe calor Q de uma fonte a T_h, a exergia associada a esse calor é
\text{Ex}_{in}=Q\left(1-\frac{T_0}{T_h}\right).
A exergia destruída é T_0 S_{gen}. Assim, uma forma prática de definir a eficiência exergética do processo é
\eta_{II}=1-\frac{\text{Ex}_{\text{destruída}}}{\text{Ex}_{in}} = 1-\frac{T_0 S_{gen}}{Q\left(1-\dfrac{T_0}{T_h}\right)}.í
(Comentário: existem várias definições de “eficiência de 2ª lei” em diferentes contextos; a usada acima é a razão entre exergia útil remanescente e exergia fornecida pela fonte quente. Esta escolha é a mais comum em exercícios de exergia quando se pede eficiência da 2ª lei.)

Passo 4

Calcular o trabalho e o calor (isotérmicos) usando a fórmula de isoterma para gás ideal. Aqui o sistema permanece a T_{sys}=773{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular \ln(P_1/P_2):
\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)=\ln\!\left(\frac{350}{100}\right)=\ln(3{,}5)=1{,}252762968\ldots
  • Calcular nR^{*}T_{sys}:
nR^{*}T_{sys}=34{,}48275862\cdot 8{,}314\cdot 773{,}15\approx221\,613{,}7\\ \mathrm{J}.
  • Logo o trabalho (positivo, trabalho realizado pelo sistema) é
W = nR^{*}T_{sys}\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\approx 221\,613{,}7\times1{,}252762968\approx277\,662\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 dígitos significativos: W\approx277{,}7\\ \mathrm{kJ}.
  • Como a transformação é isotérmica para gás ideal, \Delta U=0 e pela 1ª lei Q=W. Portanto
Q\approx277{,}7\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calcular a entropia gerada no processo.
  • Variação de entropia do sistema (isoterma):
\Delta S_{sys}=\frac{Q}{T_{sys}}=\frac{277\,662\\ \mathrm{J}}{773{,}15\\ \mathrm{K}}\approx359{,}17\\ \mathrm{J/K}.
  • Entropia fornecida/retirada do reservatório quente (fonte a T_h) é -Q/T_h. Assim a entropia gerada (irreversibilidade) é
S_{gen}=\Delta S_{sys}-\frac{Q}{T_h}=Q\left(\frac{1}{T_{sys}}-\frac{1}{T_h}\right).
  • Calcular numericamente:
S_{gen}=277\,662\left(\frac{1}{773{,}15}-\frac{1}{873{,}15}\right)\\ \mathrm{J/K}.
Avaliação numérica:
\frac{1}{773{,}15}\approx0{,}0012935\\ \mathrm{K^{-1}},\qquad \frac{1}{873{,}15}\approx0{,}0011452\\ \mathrm{K^{-1}},
diferença \approx0{,}00014827\\ \mathrm{K^{-1}}. Multiplicando por Q:
S_{gen}\approx277\,662\times0{,}00014827\approx41{,}17\\ \mathrm{J/K}.
Portanto a entropia gerada no processo é aproximadamente 41{,}17\\ \mathrm{J/K}. Isso é positivo (como deve ser) porque o calor flui da fonte mais quente para o sistema mais frio, gerando irreversibilidade.

Passo 6

Calcular a exergia destruída.
  • Fórmula:
\text{Ex}_{\text{destruída}}=T_0\,S_{gen}.í
  • Com T_0=298{,}15\\ \mathrm{K} e S_{gen}\approx41{,}17\\ \mathrm{J/K}:
\text{Ex}_{\text{destruída}}\approx298{,}15\times41{,}17\\ \mathrm{J}\approx12\,272\\ \mathrm{J}\approx12{,}27\\ \mathrm{kJ}.í
(Observação: se outro valor de T_0 for usado, basta multiplicar por esse T_0.)

Passo 7

Calcular a eficiência de 2ª lei (eficiência exergética) conforme a definição usada acima:
  • Exergia associada ao calor recebido da fonte quente (exergia fornecida pela fonte) é
\text{Ex}_{in}=Q\left(1-\frac{T_0}{T_h}\right).
  • Com Q=277\,662\\ \mathrm{J}, T_0=298{,}15\\ \mathrm{K}, T_h=873{,}15\\ \mathrm{K}:
1-\frac{T_0}{T_h}=1-\frac{298{,}15}{873{,}15}\approx1-0{,}3415=0{,}6585.
\text{Ex}_{in}\approx277\,662\times0{,}6585\approx182\,544\\ \mathrm{J}.
  • Eficiência exergética (2ª lei) definida como a fração da exergia de entrada que NÃO foi destruída:
\eta_{II}=1-\frac{\text{Ex}_{\text{destruída}}}{\text{Ex}_{in}}=1-\frac{T_0 S_{gen}}{Q\left(1-\dfrac{T_0}{T_h}\right)}.í
  • Numérico:
\eta_{II}\approx1-\frac{12\,272}{182\,544}\approx1-0{,}0672\approx0{,}9328.
Em porcentagem, \eta_{II}\approx93{,}3\%.
(Comentário didático rápido: essa eficiência indica que, da exergia que a fonte quente trouxe ao processo, cerca de 93{,}3\% ainda está disponível como trabalho útil; o restante foi perdido por irreversibilidades, quantificadas pela exergia destruída.)

Resposta

(a) Q\approx277{,}7\\ \mathrm{kJ}
(b) W\approx277{,}7\\ \mathrm{kJ}
(c) S_{gen}\approx41{,}17\\ \mathrm{J/K}
(d) \text{Ex}_{\text{destruída}}\approx12{,}27\\ \mathrm{kJ}í
(e) \eta_{II}\approx0{,}9328 (ou 93{,}28\%)

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