• 4.5-17: Cada um de dois corpos tem uma capacidade térmica dada por C=A+2 B T, onde A=8 \mathrm{~J} / \mathrm{K} e B=2 \times 10^{-2} \mathrm{~J} / \mathrm{K}^{2}. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 Ke 400 K , e se uma fonte de trabalho reversivel está disponivel, qual é a temperatura final comum minima para a qual os dois corpos podem ser levados? Se nenhum trabalho pode ser extraido da fonte de trabalho reversivel, qual é a temperatura final comum máxima para a qual os dois corpos podem ser levados? Qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversivel?

Passo 1

O enunciado nos dá a capacidade térmica de cada um dos dois corpos e pede três coisas. Dados e perguntas organizados:
  • Cada corpo tem capacidade térmica \displaystyle C(T)=A+2BT.
  • Constantes: \displaystyle A=8\\ \mathrm{J/K} e \displaystyle B=2\times10^{-2}\\ \mathrm{J/K^{2}}.
  • Temperaturas iniciais: \displaystyle T_{1}=200\\ \mathrm{K} e \displaystyle T_{2}=400\\ \mathrm{K}.
  • Perguntas:
    1. Se uma fonte de trabalho reversível está disponível, qual é a temperatura final comum mínima à qual os dois corpos podem ser levados?
    2. Se nenhum trabalho pode ser extraído (isto é, não se aproveita trabalho), qual é a temperatura final comum máxima alcançável?
    3. Qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversível?
Observação: vou tratar os dois corpos como o sistema isolado (sem trocas de calor com o exterior), podendo apenas trocar energia entre si e trocar trabalho com uma fonte reversível quando permitido. A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos obter fórmulas úteis: energia interna e entropia de cada corpo em função de T.
  • Definição: variação infinitesimal de energia interna é \displaystyle dU=C(T)\,dT. Integrando,
U(T)=\int C(T)\,dT=\int\bigl(A+2BT\bigr)\,dT=AT+BT^{2}+{\rm const.}
Escolhemos a constante de integração de forma que a forma útil seja
\boxed{\,U(T)=A T+B T^{2}\,}
(não precisamos da constante porque usaremos diferenças).
  • Definição: variação infinitesimal de entropia é \displaystyle dS=\frac{C(T)}{T}\,dT. Integrando,
S(T)=\int\frac{C(T)}{T}\,dT=\int\left(\frac{A}{T}+2B\right)\,dT=A\ln T+2BT+{\rm const.}
Escolhendo a constante adequadamente, utilizamos
\boxed{\,S(T)=A\ln T + 2B T\,.}
Explicação rápida: \,U(T)\, é a energia armazenada no corpo até a temperatura T. A entropia \,S(T)\, mede a “desordem” associada à energia térmica; a integral \int C/T é a forma padrão de calcular variação de entropia quando C depende de T.

Passo 3

Calcular energia total inicial e entropia total inicial dos dois corpos.
  • Energia do corpo 1 ( T_{1}=200\\ \mathrm{K}):
U_{1}=A T_{1}+B T_{1}^{2}=8\cdot200+0{,}02\cdot200^{2}.
Calculemos:
8\cdot200=1600,\qquad 0{,}02\cdot200^{2}=0{,}02\cdot40000=800,
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\boxed{\,U_{1}=2400\\ \mathrm{J}\,.}
  • Energia do corpo 2 ( T_{2}=400\\ \mathrm{K}):
U_{2}=8\cdot400+0{,}02\cdot400^{2}=3200+0{,}02\cdot160000=3200+3200,
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\boxed{\,U_{2}=6400\\ \mathrm{J}\,.}
  • Energia total inicial:
\boxed{\,U_{\rm tot}^{\rm (in)}=U_{1}+U_{2}=2400+6400=8800\\ \mathrm{J}\,.}
Agora a entropia:
  • Entropia do corpo 1:
S_{1}=A\ln T_{1}+2B T_{1}=8\ln(200)+0{,}04\cdot200.
Calculemos numericamente:
\ln(200)\approx5{,}2983173665,\qquad 8\ln(200)\approx42{,}386538932,
0{,}04\cdot200=8,
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\boxed{\,S_{1}\approx42{,}386538932+8=50{,}386538932\\ \mathrm{J/K}\,.}
  • Entropia do corpo 2:
S_{2}=8\ln(400)+0{,}04\cdot400.
Numérico:
\ln(400)\approx5{,}9914645471,\qquad 8\ln(400)\approx47{,}931716377,
0{,}04\cdot400=16,
\boxed{\,S_{2}\approx47{,}931716377+16=63{,}931716377\\ \mathrm{J/K}\,.}
  • Entropia total inicial:
S_{\rm tot}^{\rm (in)}=S_{1}+S_{2}\approx50{,}386538932+63{,}931716377\approx114{,}318255309\\ \mathrm{J/K}.
Vou usar estes valores numéricos nas próximas equações.

Passo 4

Caso 1 — fonte de trabalho reversível disponível: temperatura final comum mínima.
Raciocínio físico: se a fonte de trabalho é reversível, podemos realizar o processo de forma reversível extraindo trabalho máximo. Em um processo reversível que envolve apenas os dois corpos e a fonte de trabalho (sem trocas de calor com o exterior), não há produção líquida de entropia, logo a entropia total dos dois corpos permanece constante. Portanto a temperatura final comum mínima permitida é aquela que satisfaz conservação de entropia:
2\bigl(A\ln T_{f}+2B T_{f}\bigr)=S_{\rm tot}^{\rm (in)}.
Substituindo A e B,
2\bigl(8\ln T_{f}+0{,}04T_{f}\bigr)=114{,}318255309.
Simplificando,
16\ln T_{f}+0{,}08T_{f}=114{,}318255309.
Agora resolvemos numericamente para \displaystyle T_{f}. Faço uma busca rápida:
  • Avaliando em \,T=290\\ \mathrm{K}\,:
16\ln(290)+0{,}08\cdot290\approx16\cdot5{,}66988+23{,}2\approx90{,}7181+23{,}2=113{,}9181\\ (<114{,}3183).
  • Avaliando em \,T=300\\ \mathrm{K}\,:
16\ln(300)+0{,}08\cdot300\approx16\cdot5{,}703782+24\approx91{,}2605+24=115{,}2605\\ (>114{,}3183).
Entre 290 e 300 K há uma raiz. Fazendo interpolação/ refinamento (ou método de Newton simples), obtenho
\boxed{\,T_{f}^{\rm (rev)}\approx292{,}99\\ \mathrm{K}\,}
(aproximadamente 293{,}0\\ \mathrm{K}). Este é o menor valor final comum possível sem violar a segunda lei quando permitimos uso reversível da fonte de trabalho.

Passo 5

Caso 2 — nenhum trabalho pode ser extraído (adiabático sem trabalho): temperatura final comum máxima.
Raciocínio físico: se não se extrai trabalho (nenhuma energia sai na forma de trabalho), a energia total dos dois corpos é conservada. Assim a temperatura final comum T_{f} é obtida impondo conservação de energia:
2\bigl(A T_{f}+B T_{f}^{2}\bigr)=U_{\rm tot}^{\rm (in)}.
Substituindo valores,
2\bigl(8 T_{f}+0{,}02 T_{f}^{2}\bigr)=8800.
Isto é
16 T_{f}+0{,}04 T_{f}^{2}=8800.
Reorganizando como quadrática:
0{,}04 T_{f}^{2}+16 T_{f}-8800=0.
Multiplicando por 25 para simplificar:
T_{f}^{2}+400 T_{f}-220000=0.
Resolvendo a quadrática:
T_{f}=\frac{-400+\sqrt{400^{2}+4\cdot220000}}{2} =\frac{-400+\sqrt{1{,}040{,}000}}{2}.
Calculemos:
\sqrt{1{,}040{,}000}\approx1019{,}839\quad\Rightarrow\quad T_{f}\approx\frac{-400+1019{,}839}{2}\approx309{,}9195\\ \mathrm{K}.
Assim
\boxed{\,T_{f}^{\rm (no\\ work)}\approx309{,}92\\ \mathrm{K}\,.}
Observação física: esse é o valor máximo de temperatura final se você não extrai nenhum trabalho — na prática, sem tirar trabalho, a energia total se redistribui e o equilíbrio fica mais quente do que no caso reversível (onde podemos extrair trabalho e diminuir a energia total dos corpos).

Passo 6

Quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversível.
Raciocínio: a máxima quantidade de trabalho extraível é a diferença entre a energia total inicial e a energia total final no processo reversível (porque processo reversível maximiza o trabalho extraído). Logo
W_{\max}=U_{\rm tot}^{\rm (in)}-U_{\rm tot}^{\rm (final,reversível)}.í
Calculamos U_{\rm tot}^{\rm (final,reversível)}í usando T_{f}^{\rm (rev)}\approx292{,}99\\ \mathrm{K}:
U_{\rm tot}^{\rm (final,rev)}=2\bigl(A T_{f}^{\rm (rev)}+B (T_{f}^{\rm (rev)})^{2}\bigr).
Numérico:
U_{\rm tot}^{\rm (final,rev)}=16\cdot292{,}99+0{,}04\cdot(292{,}99)^{2}.
Calculemos passo a passo (aproximações com cuidado):
16\cdot292{,}99\approx4687{,}84,
(292{,}99)^{2}\approx85843{,}14\quad\Rightarrow\quad 0{,}04\cdot85843{,}14\approx3433{,}7256,
U_{\rm tot}^{\rm (final,rev)}\approx4687{,}84+3433{,}7256\approx8121{,}5656\\ \mathrm{J}.
Então
W_{\max}=U_{\rm tot}^{\rm (in)}-U_{\rm tot}^{\rm (final,rev)}=8800-8121{,}5656\approx678{,}4344\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente,
\boxed{\,W_{\max}\approx678{,}4\\ \mathrm{J}\,.}
Breve interpretação amigável: se você opera de forma reversível entre os dois corpos (como uma máquina térmica ideal que tira calor do quente e manda para o frio), pode extrair no máximo cerca de 678{,}4\\ \mathrm{J} enquanto faz com que os corpos cheguem à temperatura comum \approx293\\ \mathrm{K}. Se você não extrai trabalho, o equilíbrio comum será mais quente ( \approx309{,}9\\ \mathrm{K}).

Resposta

T_{f}^{\rm (mín,\;com\;fonte\;reversível)}\approx292{,}99\\ \mathrm{K}íí
T_{f}^{\rm (máx,\;sem\;extração\;de\;trabalho)}\approx309{,}92\\ \mathrm{K}áçã
W_{\max}\approx678{,}4\\ \mathrm{J}

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