- 4.5-17: Cada um de dois corpos tem uma capacidade térmica dada por
, onde
e
. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 Ke 400 K , e se uma fonte de trabalho reversivel está disponivel, qual é a temperatura final comum minima para a qual os dois corpos podem ser levados? Se nenhum trabalho pode ser extraido da fonte de trabalho reversivel, qual é a temperatura final comum máxima para a qual os dois corpos podem ser levados? Qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversivel?
Passo 1
O enunciado nos dá a capacidade térmica de cada um dos dois corpos e pede três coisas. Dados e perguntas organizados:
- Cada corpo tem capacidade térmica
. - Constantes:
e . - Temperaturas iniciais:
e . - Perguntas:
- Se uma fonte de trabalho reversível está disponível, qual é a temperatura final comum mínima à qual os dois corpos podem ser levados?
- Se nenhum trabalho pode ser extraído (isto é, não se aproveita trabalho), qual é a temperatura final comum máxima alcançável?
- Qual é a quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversível?
Observação: vou tratar os dois corpos como o sistema isolado (sem trocas de calor com o exterior), podendo apenas trocar energia entre si e trocar trabalho com uma fonte reversível quando permitido. A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos obter fórmulas úteis: energia interna e entropia de cada corpo em função de
.
- Definição: variação infinitesimal de energia interna é
. Integrando,
Escolhemos a constante de integração de forma que a forma útil seja
(não precisamos da constante porque usaremos diferenças).
- Definição: variação infinitesimal de entropia é
. Integrando,
Escolhendo a constante adequadamente, utilizamos
Explicação rápida:
é a energia armazenada no corpo até a temperatura
. A entropia
mede a “desordem” associada à energia térmica; a integral
é a forma padrão de calcular variação de entropia quando
depende de
.
Passo 3
Calcular energia total inicial e entropia total inicial dos dois corpos.
- Energia do corpo 1 (
):
Calculemos:
logo
- Energia do corpo 2 (
):
logo
- Energia total inicial:
Agora a entropia:
- Entropia do corpo 1:
Calculemos numericamente:
logo
- Entropia do corpo 2:
Numérico:
- Entropia total inicial:
Vou usar estes valores numéricos nas próximas equações.
Passo 4
Caso 1 — fonte de trabalho reversível disponível: temperatura final comum mínima.
Raciocínio físico: se a fonte de trabalho é reversível, podemos realizar o processo de forma reversível extraindo trabalho máximo. Em um processo reversível que envolve apenas os dois corpos e a fonte de trabalho (sem trocas de calor com o exterior), não há produção líquida de entropia, logo a entropia total dos dois corpos permanece constante. Portanto a temperatura final comum mínima permitida é aquela que satisfaz conservação de entropia:
Substituindo
e
,
Simplificando,
Agora resolvemos numericamente para
. Faço uma busca rápida:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
Entre 290 e 300 K há uma raiz. Fazendo interpolação/ refinamento (ou método de Newton simples), obtenho
(aproximadamente
). Este é o menor valor final comum possível sem violar a segunda lei quando permitimos uso reversível da fonte de trabalho.
Passo 5
Caso 2 — nenhum trabalho pode ser extraído (adiabático sem trabalho): temperatura final comum máxima.
Raciocínio físico: se não se extrai trabalho (nenhuma energia sai na forma de trabalho), a energia total dos dois corpos é conservada. Assim a temperatura final comum
é obtida impondo conservação de energia:
Substituindo valores,
Isto é
Reorganizando como quadrática:
Multiplicando por
para simplificar:
Resolvendo a quadrática:
Calculemos:
Assim
Observação física: esse é o valor máximo de temperatura final se você não extrai nenhum trabalho — na prática, sem tirar trabalho, a energia total se redistribui e o equilíbrio fica mais quente do que no caso reversível (onde podemos extrair trabalho e diminuir a energia total dos corpos).
Passo 6
Quantidade máxima de trabalho que pode ser transferida para a fonte de trabalho reversível.
Raciocínio: a máxima quantidade de trabalho extraível é a diferença entre a energia total inicial e a energia total final no processo reversível (porque processo reversível maximiza o trabalho extraído). Logo
Calculamos
usando
:
Numérico:
Calculemos passo a passo (aproximações com cuidado):
Então
Arredondando razoavelmente,
Breve interpretação amigável: se você opera de forma reversível entre os dois corpos (como uma máquina térmica ideal que tira calor do quente e manda para o frio), pode extrair no máximo cerca de
enquanto faz com que os corpos cheguem à temperatura comum
. Se você não extrai trabalho, o equilíbrio comum será mais quente (
).