• Atividade 2: O ar de casa está a 25^{\circ} \mathrm{C} e 65 \% de umidade relativa e pressão total de 100 kPa . Utilizando as equações e tabelas termodinâmicas, determine (a) a umidade específica, (b) a umidade relativa (c) a temperatura do ponto de orvalho e (d) a entalpia do ar úmido. Utilize as equações da Aula 3.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (apenas identificação dos dados e das perguntas):
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do bulbo seco: \;T=25^\circ\mathrm{C}.
    • Umidade relativa: \;\varphi=65\%.
    • Pressão total do ar: \;P=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Determinar a umidade específica (razão de mistura) \;w (kg de vapor de água por kg de ar seco).
    • (b) Determinar a umidade relativa (reconferir / confirmar \;\varphi a partir dos cálculos).
    • (c) Determinar a temperatura do ponto de orvalho \;T_{dp}.
    • (d) Determinar a entalpia do ar úmido por kg de ar seco \;h (kJ/kg de ar seco).

Passo 2

Explicação do conceito de pressão de vapor e cálculo da pressão de saturação em \;25^\circ\mathrm{C}.
  • Conceito: a pressão parcial do vapor d’água no ar (denotada por \;e) está relacionada com a pressão de saturação \;e_s(T) e a umidade relativa \;\varphi por
    e = \varphi \, e_s(T).
    Aqui \;e_s(T) é a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura T (quando o ar estivesse saturado).
  • Fórmula prática (fórmula de Tetens, muito usada em psicrometria para temperaturas na faixa ambiente):
    e_s(T) = 0{,}61078\\ \exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa)},
    onde T está em ^\circ\mathrm{C}.
  • Cálculo de \;e_s em \;T=25^\circ\mathrm{C}:
    • Primeiro calcule o expoente: \frac{17{,}27\cdot 25}{25+237{,}3} = \frac{431{,}75}{262{,}3}\approx 1{,}6469.
    • Depois: e_s(25)=0{,}61078\exp(1{,}6469)\approx 0{,}61078\cdot 5{,}1889 \approx 3{,}169\\ \mathrm{kPa}.
  • Com \;\varphi=65\%=0{,}65, a pressão parcial do vapor é
    e = \varphi\, e_s = 0{,}65\cdot 3{,}169 \approx 2{,}060\\ \mathrm{kPa}.
(Resumo numérico: \;e_s(25^\circ\mathrm{C})\approx 3{,}169\\ \mathrm{kPa}, \;e\approx 2{,}060\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 3

Definição e cálculo da umidade específica (razão de mistura) \;w.
  • Conceito e fórmula: a umidade específica (ou razão de mistura) \;w é a massa de vapor por massa de ar seco. Para pressão total P e pressão parcial do vapor e temos, usando a relação das pressões parciais e as massas molares:
    w = 0{,}622\;\frac{e}{P-e}.
    Explicando os termos:
    • 0{,}622 é a razão das massas molares da água e do ar seco (aprox. M_v/M_{da}).
    • e é a pressão parcial de vapor (kPa).
    • P é a pressão total do ar (kPa).
    • A fórmula dá w em kg de vapor/kg de ar seco.
  • Substituindo os valores:
    • Numerador: 0{,}622\cdot e = 0{,}622\cdot 2{,}060 \approx 1{,}28132.
    • Denominador: P-e = 100 - 2{,}060 = 97{,}940\\ \mathrm{kPa}.
    • Logo w \approx \frac{1{,}28132}{97{,}940}\approx 0{,}01308\\ \mathrm{kg\;vap/kg\;ar\;seco}.
  • Conveniência de leitura: em gramas por quilograma de ar seco,
    w \approx 13{,}08\\ \mathrm{g\;vap/kg\;ar\;seco}.

Passo 4

Reavaliação / confirmação da umidade relativa \;\varphi a partir de e e e_s (parte (b)).
  • Definição: a umidade relativa é \varphi = \frac{e}{e_s(T)}.
  • Usando os valores calculados: \varphi = \frac{2{,}060}{3{,}169}\approx 0{,}65 = 65\%.
  • Conclusão: o valor calculado confirma a umidade relativa fornecida no enunciado (consistência dos cálculos).

Passo 5

Cálculo da temperatura do ponto de orvalho \;T_{dp}.
  • Conceito: o ponto de orvalho é a temperatura à qual o ar, à pressão parcial de vapor atual e, estaria saturado; ou seja, \;e_s(T_{dp})=e. Para obter T_{dp} invertemos a fórmula de Tetens.
  • Fórmula inversa (inversa da expressão de Tetens):
    T_{dp} = \frac{237{,}3\,\ln\!\left(\dfrac{e}{0{,}61078}\right)}{17{,}27-\ln\!\left(\dfrac{e}{0{,}61078}\right)}\quad(^\circ\mathrm{C}),
    onde e está em kPa.
  • Substituindo e=2{,}060\\ \mathrm{kPa}:
    • Calcule a razão: \dfrac{e}{0{,}61078}=\dfrac{2{,}060}{0{,}61078}\approx 3{,}372.
    • Logaritmo natural: \ln(3{,}372)\approx 1{,}2149.
    • Numerador: 237{,}3\cdot 1{,}2149 \approx 288{,}334.
    • Denominador: 17{,}27 - 1{,}2149 \approx 16{,}0551.
    • Portanto T_{dp} \approx \frac{288{,}334}{16{,}0551}\approx 17{,}96^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando: \;T_{dp}\approx 18{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da entalpia do ar úmido \;h (por kg de ar seco).
  • Fórmula usada (padrão em psicrometria, unidades kJ/kg de ar seco):
    h = c_{pa}\,T + w\,(h_{fg} + c_{pv}\,T).
    Explicando os termos:
    • c_{pa} é a capacidade calorífica do ar seco (tomamos c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}).
    • T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C} (igual à temperatura em K para variações de energia).
    • w é a razão de mistura (kg vapor/kg ar seco).
    • h_{fg} é a entalpia latente de vaporização da água (aprox. 2501\\ \mathrm{kJ/kg} a 0^\circ\mathrm{C}; este valor é usualmente adotado em psicrometria).
    • c_{pv} é a capacidade térmica do vapor d’água (tomamos c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}).
  • Substituindo números:
    • Parte sensível: c_{pa}\,T = 1{,}006\cdot 25 \approx 25{,}15\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
    • Termo dentro do parêntese: h_{fg} + c_{pv}\,T = 2501 + 1{,}86\cdot 25 = 2501 + 46{,}50 = 2547{,}50\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Multiplicando por w: w\cdot( \cdots ) = 0{,}01308\cdot 2547{,}50 \approx 33{,}33\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
    • Somando as duas parcelas: h \approx 25{,}15 + 33{,}33 \approx 58{,}48\\ \mathrm{kJ/kg_{da}}.
  • Interpretação: esse valor é a entalpia total por kg de ar seco (inclui energia sensível do ar seco mais energia associada ao vapor).

Passo 7

Verificação rápida dos resultados, unidades e incentivo.
  • Unidades finais obtidas:
    • w em \mathrm{kg\;vap/kg\;ar\;seco} (ou g/kg).
    • \varphi adimensional ou em \%.
    • T_{dp} em ^\circ\mathrm{C}.
    • h em \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
  • Tudo está consistente: a umidade relativa calculada a partir de e e e_s bate com o \;65\% dado; os valores numéricos estão em faixas esperadas para ar interior confortavelmente úmido.

Resposta

(a) \;w \approx 0{,}01308\\ \mathrm{kg\;vap/kg\;ar\;seco} (ou \;13{,}08\\ \mathrm{g/kg}).
(b) \;\varphi \approx 65\%.
(c) \;T_{dp} \approx 17{,}96^\circ\mathrm{C} (aprox. 18{,}0^\circ\mathrm{C}).
(d) \;h \approx 58{,}48\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.

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