Calcule o volume molar do líquido saturado e do vapor saturado de Propano a 30^{\circ} \mathrm{C} pelos seguintes métodos ( \mathrm{Tc}=369,8 \mathrm{~K} e Pc =42,48 bar e \mathrm{W}=0,152 ):
e) Equação Peng Robinson: Vvsat= ______ Vlsat= ______ cm 3 /mol
A equação de Antoine para o propano é dada por:
\operatorname{Ln} P_{s a t}[b a r]=9,1058-\frac{1872,46}{T[K]-25,16}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o volume molar do líquido saturado e do vapor saturado de propano a 30^\circ\mathrm{C} usando a equação de Peng–Robinson. Dados fornecidos:
T_c = 369{,}8\\ \mathrm{K},\quad P_c = 42{,}48\\ \mathrm{bar},\quad \omega = 0{,}152
A equação de Antoine (fornecida) permite obter a pressão de saturação:
\ln P_{sat}[\mathrm{bar}] = 9{,}1058 - \frac{1872{,}46}{T[\mathrm{K}] - 25{,}16}
Temperatura de trabalho: 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Calcular a pressão de saturação P_{sat} em T = 303{,}15\\ \mathrm{K} usando Antoine.
\ln P_{sat} = 9{,}1058 - \frac{1872{,}46}{303{,}15 - 25{,}16} = 9{,}1058 - \frac{1872{,}46}{277{,}99}
\frac{1872{,}46}{277{,}99} \approx 6{,}73711\quad\Rightarrow\quad \ln P_{sat}\approx 2{,}36869
P_{sat} = \exp(2{,}36869) \approx 10{,}68\\ \mathrm{bar}
Portanto usamos P = P_{sat} \approx 10{,}68\\ \mathrm{bar} nos cálculos com Peng–Robinson.

Passo 3

Apresentar a equação de Peng–Robinson e as quantidades necessárias. A forma usada é
P = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a\alpha}{V_m^2 + 2bV_m - b^2},
onde V_m é o volume molar e as constantes são dadas por
a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c},\qquad b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c}.
A dependência com a temperatura entra via
\alpha = \bigl(1 + \kappa(1 - \sqrt{T/T_c})\bigr)^2,\qquad \kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\omega - 0{,}26992\omega^2.
É usual transformar a equação em forma cúbica em Z (fator de compressibilidade):
Z^3 - (1 - B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (AB - B^2 - B^3) = 0,
com
A = \frac{a\alpha P}{R^2 T^2},\qquad B = \frac{bP}{RT}.
Raízes reais dessa cúbica: a maior corresponde ao vapor saturado e a menor ao líquido saturado.

Passo 4

Escolher unidades consistentes e calcular a e b. Vou usar R = 83{,}14\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{bar}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (pois R=0{,}08314\\ \mathrm{L·bar·K^{-1}·mol^{-1}} = 83{,}14\\ \mathrm{cm^3·bar·K^{-1}·mol^{-1}}). Calcular a e b:
Primeiro calcular R^2 e T_c^2:
R^2 = (83{,}14)^2 \approx 6912{,}260\quad\text{(cm}^6\text{·bar}^2\text{·K}^{-2}\text{·mol}^{-2}) ,
T_c^2 = (369{,}8)^2 \approx 136{,}752{,}04\\ \mathrm{K}^2.
Agora
a = 0{,}45724\frac{R^2 T_c^2}{P_c} =0{,}45724\frac{6912{,}2596\cdot 136{,}752{,}04}{42{,}48} \approx 1{,}0187446\times 10^{7}\\ \mathrm{(cm^6\cdot bar\cdot mol^{-2})}.
b = 0{,}07780\frac{R T_c}{P_c} =0{,}07780\frac{83{,}14\cdot 369{,}8}{42{,}48} \approx 56{,}309\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.

Passo 5

Calcular \kappa e \alpha na temperatura T=303{,}15\\ \mathrm{K}.
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\omega - 0{,}26992\omega^2 =0{,}37464 + 1{,}54226(0{,}152) - 0{,}26992(0{,}152)^2 \approx 0{,}60282.
\sqrt{\frac{T}{T_c}} = \sqrt{\frac{303{,}15}{369{,}8}} \approx 0{,}9055,
\alpha = \bigl(1 + \kappa(1 - \sqrt{T/T_c})\bigr)^2 \approx (1 + 0{,}60282\cdot 0{,}0945)^2 \approx 1{,}11717.
Calcular a\alpha:
a\alpha \approx 1{,}0187446\times 10^{7}\times 1{,}11717 \approx 1{,}138111\times 10^{7}.

Passo 6

Calcular os parâmetros adimensionais A e B na condição de saturação P=10{,}68\\ \mathrm{bar}:
B = \frac{bP}{RT} = \frac{56{,}309\cdot 10{,}68}{83{,}14\cdot 303{,}15} \approx 0{,}02387.
A = \frac{a\alpha P}{R^2 T^2} = \frac{1{,}138111\times 10^{7}\cdot 10{,}68}{(83{,}14)^2\cdot (303{,}15)^2} \approx 0{,}1914.

Passo 7

Montar a equação cúbica em Z:
Z^3 - (1 - B)Z^2 + (A - 3B^2 - 2B)Z - (AB - B^2 - B^3) = 0.
Substituindo os valores calculados:
1 - B \approx 0{,}97613,
A - 3B^2 - 2B \approx 0{,}14195,
AB - B^2 - B^3 \approx 0{,}0039845.
Logo a cúbica numérica é
Z^3 - 0{,}97613\,Z^2 + 0{,}14195\,Z - 0{,}0039845 = 0.
Resolver numericamente esta cúbica: ela apresenta três raízes reais (regime de duas fases). As raízes numéricas obtidas (por tentativa e método numérico) são aproximadamente
Z_{\text{líquido}} \approx 0{,}03721,\qquad Z_{\text{vapor}} \approx 0{,}808.í
(Observação: a maior raiz é associada ao vapor e a menor ao líquido.)

Passo 8

Converter Z em volume molar pela relação
V_m = \frac{ZRT}{P}.
Calcular o volume molar do vapor saturado:
V_{v,\mathrm{sat}} = \frac{Z_{\text{vapor}}\,R\,T}{P} = \frac{0{,}808\cdot 83{,}14\cdot 303{,}15}{10{,}68} \approx \frac{20{,}372{,}8}{10{,}68} \approx 1907\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.
Calcular o volume molar do líquido saturado:
V_{l,\mathrm{sat}} = \frac{Z_{\text{líquido}}\,R\,T}{P} = \frac{0{,}03721\cdot 83{,}14\cdot 303{,}15}{10{,}68} \approx \frac{937{,}84}{10{,}68} \approx 87{,}8\\ \mathrm{cm^3\cdot mol^{-1}}.í

Resposta

Vvsat = 1907 cm^3/mol
Vlsat = 87,8 cm^3/mol

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