9.174E In a heat pump that uses \mathrm{R}-134 \mathrm{a} as the working fluid, the R-134a enters the compressor at 30 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} .^{2}, 20 \mathrm{~F} at a rate of 0.1 \mathrm{lbm} / \mathrm{s}. In the compressor the \mathrm{R}-134 \mathrm{a} is compressed in an adiabatic process to 150 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} .^{2}. Calculate the power input required to the compressor, assuming the process to be reversible.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a potência de entrada do compressor (assumindo processo reversível e adiabático):
P_1 = 30\\ \text{lbf/in}^2,\qquad T_1 = 20^\circ\text{F},\qquad \dot{m}=0,1\\ \text{lbm/s},
P_2 = 150\\ \text{lbf/in}^2.
Pergunta: calcular a potência de entrada requerida ao compressor, sob a hipótese de processo reversível e adiabático.

Passo 2

Decisão prática para resolver (sem tabelas do R-134a à mão): vou modelar o vapor de R-134a como um gás perfeito com calor específico constante na faixa de temperaturas envolvidas. Isso permite usar as relações isentrópicas do gás ideal e a relação dh=c_p\,dT para obter a variação de entalpia. Justifico: o enunciado pede processo reversível e adiabático (isto é, isentrópico); sem acesso às tabelas reais do refrigerante, essa aproximação é a forma mais direta de chegar a uma resposta numérica razoável. Aviso que, se você tiver tabelas reais de R-134a, os valores numéricos poderão mudar um pouco; ainda assim o procedimento conceptual é o mesmo.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para o SI e anotar os valores que usaremos:
Converter fluxo mássico:
\dot{m} = 0{,}1\\ \text{lbm/s} = 0{,}1\times 0{,}453592\\ \text{kg/s} = 0{,}0453592\\ \text{kg/s}.
Converter pressões:
P_1 = 30\\ \text{psi} = 30\times 6894{,}76\\ \text{Pa} = 206842{,}8\\ \text{Pa},
P_2 = 150\\ \text{psi} = 150\times 6894{,}76\\ \text{Pa} = 1034214\\ \text{Pa}.
Converter temperatura:
T_1 = 20^\circ\text{F} = \left(20-32\right)\times\frac{5}{9}\\ ^\circ\text{C} = -6{,}6667^\circ\text{C} = 266{,}483\\ \text{K}.
Constantes e aproximações usadas para R-134a (vapour):
  • massa molar aproximada: \,M = 102{,}03\\ \text{g/mol} = 0{,}10203\\ \text{kg/mol}.
  • constante universal dos gases: R_u = 8{,}3144621\\ \text{kJ/(kmol·K)}. Portanto a constante específica é
R = \frac{8{,}3144621}{0{,}10203} \\ \text{kJ/(kg·K)} \approx 0{,}08145\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  • tomaremos um valor típico para o calor específico do vapor: c_p \approx 0{,}88\\ \text{kJ/(kg·K)}. (Valor típico para R-134a vapor; serve como aproximação razoável.)

Passo 4

Energia para escoamento estacionário e compressor adiabático e reversível:
Para um compressor em regime estacionário, desprezando energia cinética e potencial, a potência de entrada (taxa de trabalho por unidade de tempo fornecida ao fluido) é
\dot{W} = \dot{m}\,(h_2 - h_1).
Explicação rápida: h é a entalpia específica do fluido ( h=u+Pv); para um gás ideal com c_p constante, a variação de entalpia relaciona-se com a variação de temperatura por
dh = c_p\,dT \quad\Rightarrow\quad h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1).
Como o processo é reversível e adiabático, ele é isentrópico. Para um gás ideal com razão de capacidades térmicas \,k=c_p/c_v, a relação isentrópica entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Vamos determinar k e T_2.

Passo 5

Calcular c_v e k:
c_v = c_p - R = 0{,}88 - 0{,}08145 = 0{,}79855\\ \text{kJ/(kg·K)}.
k = \frac{c_p}{c_v} = \frac{0{,}88}{0{,}79855} \approx 1{,}1018.
Calcular o expoente \frac{k-1}{k}:
\frac{k-1}{k} = \frac{1{,}1018 - 1}{1{,}1018} = \frac{0{,}1018}{1{,}1018} \approx 0{,}09256.
Pressão de compressão:
\frac{P_2}{P_1} = \frac{150}{30} = 5.
Agora T_2:
T_2 = T_1\left(5\right)^{0{,}09256}.
Calculemos o fator:
\ln 5 = 1{,}60944,\quad 0{,}09256\times \ln 5 = 0{,}14896,
5^{0{,}09256} = e^{0{,}14896} \approx 1{,}1608.
Logo
T_2 = 266{,}483\\ \text{K}\times 1{,}1608 \approx 309{,}30\\ \text{K}.
Converter T_2 para ^\circ\text{F} só para noção:
T_2(^{\circ}\text{F}) = (309{,}30-273{,}15)\times\frac{9}{5}+32 \approx 97{,}1^\circ\text{F}.

Passo 6

Calcular a variação de entalpia usando h_2-h_1 = c_p (T_2-T_1):
\Delta T = T_2-T_1 = 309{,}30 - 266{,}483 = 42{,}817\\ \text{K}.
h_2-h_1 = c_p\,\Delta T = 0{,}88\\ \frac{\text{kJ}}{\text{kg·K}}\times 42{,}817\\ \text{K} \approx 37{,}66\\ \text{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a potência:
\dot{W} = \dot{m}\,(h_2-h_1) = 0{,}0453592\\ \text{kg/s}\times 37{,}66\\ \text{kJ/kg} = 1{,}708\\ \text{kW}.
Converter para watts e cavalos-vapor (hp):
\dot{W} = 1{,}708\\ \text{kW} = 1708\\ \text{W}.
1\\ \text{kW} \approx 1{,}34102\\ \text{hp} \quad\Rightarrow\quad \dot{W}\approx 1{,}708\times 1{,}34102 \approx 2{,}29\\ \text{hp}.
Comentário final: este valor é obtido com a aproximação de gás ideal e c_p constante para o vapor de R-134a. Se você consultar tabelas reais de R-134a e fizer a compressão isentrópica com dados de entropia e entalpia, o procedimento (usar s_1=s_2 e \dot{W}=\dot{m}(h_2-h_1)) é o mesmo, mas os números podem variar um pouco. Vai dar tudo certo — você já entendeu o passo a passo operacional!

Resposta

\dot{W}\approx 1{,}708\\ \text{kW} \approx 1708\\ \text{W} \approx 2{,}29\\ \text{hp}

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