9.177E The exit nozzle in a jet engine receives air at 2100 \mathrm{R}, 20 \mathrm{psia}, with negligible kinetic energy. The exit pressure is 10 psia , and the process is reversible and adiabatic. Use constant heat capacity at 77 F to find the exit velocity.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade de saída do bocal:
o ar chega com velocidade desprezível (V_1\approx0), o processo é reversível e adiabático (isto é, isotérmico? não — é isentrópico no caso de gás ideal), e devemos usar capacidade calorífica constante avaliada a 77^\circ\mathrm{F}. A incógnita é a velocidade de saída V_2.
Passo 2
Qual equação de energia usar? Para um escoamento em regime permanente sem trabalho de eixo nem troca de calor (bocal ideal), a equação de energia por unidade de massa é
h_1+\frac{V_1^2}{2}=h_2+\frac{V_2^2}{2}.
Explicando: h é entalpia específica (energia térmica por unidade de massa) e V é velocidade. Como V_1\approx0, isto reduz para
\frac{V_2^2}{2}=h_1-h_2.
Para um gás ideal com c_p constante, a entalpia específica é h=c_p T. Portanto
V_2=\sqrt{2c_p(T_1-T_2)}.
Aqui c_p é a capacidade calorífica a pressão constante por unidade de massa (unidades que vamos tratar abaixo).
Passo 3
Precisamos de T_2. O processo é reversível e adiabático para gás ideal => isentrópico. Para gás ideal com c_p constante a relação entre temperaturas e pressões é
onde k=\dfrac{c_p}{c_v} é a razão de capacidades e c_v=c_p-R. Essa relação vem da combinação das leis p v^k= const e p v = R T; não precisa decorar a demonstração na prova, mas é bom saber que é padrão para processos isentrópicos de gás ideal.
Passo 4
Escolhemos os valores numéricos pedidos: usar c_p do ar em 77^\circ\mathrm{F}. Valores tabulados:
Na fórmula V_2=\sqrt{2c_p\Delta T}, c_p\Delta T está em unidades de energia por massa (Btu/lbm). Para obter velocidade em \mathrm{ft/s} precisamos converter energia por massa para \mathrm{ft^2/s^2} (já que 1/2 V^2 tem unidades \mathrm{ft^2/s^2}).
Passo 7
Conversões de unidades (explico passo a passo):
1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}. Então 1\\ \mathrm{Btu/lbm}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf/lbm}.
Uma unidade \mathrm{ft\cdot lbf/lbm} equivale a 32{,}174\\ \mathrm{ft^2/s^2} porque 1\\ \mathrm{lbf}=32{,}174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/s^2}. Logo
Verificação rápida: se tivéssemos usado k=1{,}4 arredondado, o fator em temperatura muda um pouco, mas o resultado de V_2 permanece na mesma casa de milhares de \mathrm{ft/s}. A ordem de grandeza faz sentido para um bocal de jato com queda de pressão de 20 para 10\\ \mathrm{psia} a temperatura elevada.