9.177E The exit nozzle in a jet engine receives air at 2100 \mathrm{R}, 20 \mathrm{psia}, with negligible kinetic energy. The exit pressure is 10 psia , and the process is reversible and adiabatic. Use constant heat capacity at 77 F to find the exit velocity.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a velocidade de saída do bocal:
T_1=2100\\ \mathrm{R},\qquad p_1=20\\ \mathrm{psia},\qquad p_2=10\\ \mathrm{psia},
o ar chega com velocidade desprezível ( V_1\approx0), o processo é reversível e adiabático (isto é, isotérmico? não — é isentrópico no caso de gás ideal), e devemos usar capacidade calorífica constante avaliada a 77^\circ\mathrm{F}. A incógnita é a velocidade de saída V_2.

Passo 2

Qual equação de energia usar? Para um escoamento em regime permanente sem trabalho de eixo nem troca de calor (bocal ideal), a equação de energia por unidade de massa é
h_1+\frac{V_1^2}{2}=h_2+\frac{V_2^2}{2}.
Explicando: h é entalpia específica (energia térmica por unidade de massa) e V é velocidade. Como V_1\approx0, isto reduz para
\frac{V_2^2}{2}=h_1-h_2.
Para um gás ideal com c_p constante, a entalpia específica é h=c_p T. Portanto
V_2=\sqrt{2c_p(T_1-T_2)}.
Aqui c_p é a capacidade calorífica a pressão constante por unidade de massa (unidades que vamos tratar abaixo).

Passo 3

Precisamos de T_2. O processo é reversível e adiabático para gás ideal => isentrópico. Para gás ideal com c_p constante a relação entre temperaturas e pressões é
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{k-1}{k}},
onde k=\dfrac{c_p}{c_v} é a razão de capacidades e c_v=c_p-R. Essa relação vem da combinação das leis p v^k= const e p v = R T; não precisa decorar a demonstração na prova, mas é bom saber que é padrão para processos isentrópicos de gás ideal.

Passo 4

Escolhemos os valores numéricos pedidos: usar c_p do ar em 77^\circ\mathrm{F}. Valores tabulados:
c_p=0{,}240\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)},\qquad R=0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)}.
Calculamos k:
c_v=c_p-R=0{,}240-0{,}06855=0{,}17145\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)},
k=\frac{c_p}{c_v}=\frac{0{,}240}{0{,}17145}\approx1{,}399.
O expoente \dfrac{k-1}{k} fica
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}399-1}{1{,}399}=\frac{0{,}399}{1{,}399}\approx0{,}2853.

Passo 5

Agora aplicamos a relação isentrópica para obter T_2. A razão de pressão é \dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{10}{20}=0{,}5. Logo
\frac{T_2}{T_1}=(0{,}5)^{0{,}2853}.
Calculando (faço a etapa com logaritmo para ficar claro):
\ln\!\left((0{,}5)^{0{,}2853}\right)=0{,}2853\ln(0{,}5)=0{,}2853(-0{,}693147)=-0{,}1977,
(0{,}5)^{0{,}2853}=e^{-0{,}1977}\approx0{,}8206.
Portanto
T_2=T_1\cdot0{,}8206=2100\cdot0{,}8206\approx1723{,}2\\ \mathrm{R}.

Passo 6

Temperatura caída e preparação para energia:
\Delta T=T_1-T_2=2100-1723{,}2=376{,}8\\ \mathrm{R}.
Na fórmula V_2=\sqrt{2c_p\Delta T}, c_p\Delta T está em unidades de energia por massa (Btu/lbm). Para obter velocidade em \mathrm{ft/s} precisamos converter energia por massa para \mathrm{ft^2/s^2} (já que 1/2 V^2 tem unidades \mathrm{ft^2/s^2}).

Passo 7

Conversões de unidades (explico passo a passo):
  • 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}. Então 1\\ \mathrm{Btu/lbm}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf/lbm}.
  • Uma unidade \mathrm{ft\cdot lbf/lbm} equivale a 32{,}174\\ \mathrm{ft^2/s^2} porque 1\\ \mathrm{lbf}=32{,}174\\ \mathrm{lbm\cdot ft/s^2}. Logo
1\\ \mathrm{Btu/lbm}=778{,}169\times32{,}174\\ \mathrm{ft^2/s^2}\approx25006{,}7\\ \mathrm{ft^2/s^2}.
Assim, para qualquer valor E em \mathrm{Btu/lbm}, a equivalente em \mathrm{ft^2/s^2} é E\times25006{,}7.

Passo 8

Calcule c_p\Delta T em \mathrm{Btu/lbm}:
c_p\Delta T=0{,}240\times376{,}8=90{,}432\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Converter para \mathrm{ft^2/s^2}:
c_p\Delta T\big|_{\mathrm{ft^2/s^2}}=90{,}432\times25006{,}7\approx2{,}261{,}486\\ \mathrm{ft^2/s^2}.
Agora usar \tfrac{V_2^2}{2}=c_p\Delta T (em unidades \mathrm{ft^2/s^2}):
V_2=\sqrt{2\times 2{,}261{,}486}\\ \mathrm{ft/s}=\sqrt{4{,}522{,}972}\\ \mathrm{ft/s}.
Fazendo a raiz quadrada:
V_2\approx2127\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 9

Verificação rápida: se tivéssemos usado k=1{,}4 arredondado, o fator em temperatura muda um pouco, mas o resultado de V_2 permanece na mesma casa de milhares de \mathrm{ft/s}. A ordem de grandeza faz sentido para um bocal de jato com queda de pressão de 20 para 10\\ \mathrm{psia} a temperatura elevada.

Resposta

V_2\approx2127\\ \mathrm{ft/s}

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