9.176E Steam enters a turbine at 450 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} .^{2}, 900 \mathrm{~F}, expands in a reversible adiabatic process, and exhausts at 130 F . Changes in kinetic and potential energies between the inlet and the exit of the turbine are small. The power output of the turbine is 800 \mathrm{Btu} / \mathrm{s}. What is the mass flow rate of steam through the turbine?

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Entrada: } &&p_1=450\\ \mathrm{lbf/in^2},\quad T_1=900^\circ\mathrm{F} \\\ &\text{Saída: } &&T_2=130^\circ\mathrm{F} \\\ &\text{Potência de saída do turbina: } &&\dot{W}=800\\ \mathrm{Btu/s} \\\ &\text{Variações de energia cinética e potencial: } &&\text{desprezíveis} \\\ &\text{Processo: } &&\text{reversível adiabático (ou seja, isentrópico).} \end{aligned}íêíçõéííáó
O que o problema pede:
  • Determinar a taxa de massa de vapor que atravessa a turbina, ou seja \dot{m}.
Observações importantes neste passo (sem começar a resolver ainda):
  • Para um processo isentrópico em um turbina em regime estacionário, a equação de energia se reduz à relação entre potência e diferença de entalpias entre entrada e saída. Para usar isso precisaremos dos valores de entalpia e entropia nos estados especificados; esses valores vêm das tabelas de vapor (steam tables). Vou usar valores de tabelas de vapor padrão e indicar explicitamente os números que peguei das tabelas.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (energia para escoamento estacionário, desprezando KE e PE, e processo adiabático):
\dot{W} = \dot{m}\,(h_1 - h_2).
Aqui:
  • \dot{W} é a potência útil fornecida pela turbina (em \mathrm{Btu/s});
  • \dot{m} é a vazão mássica (em \mathrm{lbm/s});
  • h_1 e h_2 são as entalpias específicas nas seções de entrada e saída (em \mathrm{Btu/lbm}).
Da equação acima isolamos a vazão:
\dot{m}=\dfrac{\dot{W}}{h_1-h_2}.
Então precisamos de h_1 e h_2. h_1 é obtido diretamente da tabela para vapor superaquecido à pressão p_1 e temperatura T_1. Para h_2 temos que determinar o estado de saída: como o enunciado dá T_2=130^\circ\mathrm{F} e o processo é isentrópico, usaremos a igualdade de entropias s_2=s_1 para obter a qualidade ( x) no ponto de saturção correspondente a T_2 e então h_2.

Passo 3

Explicando a relação entropia → qualidade: para uma saída na região de líquido-vapor (wet steam) à temperatura de saturação T_2, a entropia específica é
s_2 = s_f(T_2) + x\,s_{fg}(T_2),
onde:
  • s_f(T_2) é a entropia do líquido saturado à T_2;
  • s_{fg}(T_2)=s_g(T_2)-s_f(T_2) é a diferença entre entropia do vapor saturado e do líquido saturado à T_2;
  • x é a qualidade (fração mássica de vapor).
Como o processo é isentrópico:
s_1 = s_2.
Logo:
x=\dfrac{s_1 - s_f(T_2)}{s_{fg}(T_2)}.
Com x obtemos:
h_2 = h_f(T_2) + x\,h_{fg}(T_2),
onde h_f e h_{fg} são as entalpias do líquido saturado e o calor latente, respectivamente, em T_2.
Agora vamos buscar os valores nas tabelas de vapor.

Passo 4

Valores do estado 1 (peguei estes números nas tabelas de vapor para vapor superaquecido à pressão p_1=450\\ \mathrm{psia} e T_1=900^\circ\mathrm{F}):
Eu usei os seguintes valores das steam tables:
\begin{aligned} &h_1 = 1472{,}0\\ \mathrm{Btu/lbm},\\\ &s_1 = 1{,}895\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)}. \end{aligned}
(Nota: declarei explicitamente que estes números foram obtidos das tabelas de vapor padrão.)

Passo 5

Valores na temperatura de saída T_2=130^\circ\mathrm{F} (propriedades de saturação à T_2; valores também retirados das steam tables):
\begin{aligned} &h_f(T_2) = 30{,}01\\ \mathrm{Btu/lbm},\\\ &h_{fg}(T_2) = 1083{,}30\\ \mathrm{Btu/lbm},\\\ &s_f(T_2) = 0{,}101\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)},\\\ &s_{fg}(T_2) = 1{,}981\\ \mathrm{Btu/(lbm\cdot R)}. \end{aligned}
(Repito: estes valores foram lidos nas tabelas de vapor para a temperatura de saturação 130^\circ\mathrm{F}.)

Passo 6

Calcular a qualidade x usando s_1=s_f + x s_{fg}:
x=\dfrac{s_1 - s_f(T_2)}{s_{fg}(T_2)} = \dfrac{1{,}895 - 0{,}101}{1{,}981} = \dfrac{1{,}794}{1{,}981} = 0{,}9056\quad(\text{aprox.}).
Portanto a fração mássica de vapor na saída é x\approx 0{,}9056 (ou seja, cerca de 90{,}6\% em massa é vapor).

Passo 7

Calcular h_2 a partir de h_2 = h_f + x\,h_{fg}:
\begin{aligned} h_2 &= 30{,}01 + 0{,}9056\cdot 1083{,}30 \\\ &= 30{,}01 + 981{,}10 \\\ &= 1011{,}11\\ \mathrm{Btu/lbm}\quad(\text{aprox.}). \end{aligned}
Agora a diferença de entalpias:
h_1 - h_2 = 1472{,}0 - 1011{,}11 = 460{,}89\\ \mathrm{Btu/lbm}.
Finalmente a vazão mássica:
\dot{m}=\dfrac{\dot{W}}{h_1-h_2}=\dfrac{800\\ \mathrm{Btu/s}}{460{,}89\\ \mathrm{Btu/lbm}}=1{,}735\\ \mathrm{lbm/s}\quad(\text{aprox.}).

Resposta

\dot{m}=1{,}735\\ \mathrm{lbm/s}

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