**18 A 20^circ C, uma barra tem exatamente 20,05 cm de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 270^circ C, a barra passa a medir 20,11 cm de acordo com a mesma régua. Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que é feita a barra?

Passo 1

O enunciado trata de dilatação linear: uma barra de comprimento inicial L0=20,05,cm (à 20^circC) é medida com uma régua de aço, e ambas são aquecidas a 270^circC. A medição da barra sobe para 20,11,cm segundo a régua aquecida. Queremos achar o coeficiente de expansão linear alphabarra da barra, sabendo que o coeficiente de expansão linear do aço (da régua) é alphaaço=1,2times10^-5,^circC^-1ç.

Passo 2

Quando a barra é aquecida em De<a T=270-20=250 circC, seu comprimento real passa a
Lbarra=L0l(1+alphabarraDe<a Tr)
Ao mesmo tempo, cada “centímetro” da régua também cresce, valendo
1 cmnovo =1 cmantigol(1+alphaaçoDe<a Tr) ç
Como o aluno lê o comprimento da barra dividindo o comprimento real dela pelo novo valor de “ 1 cm”, a leitura M satisfaz
M=Lbarra1+alphaaçoDe<a T ç

Passo 3

Substituindo Lbarra na equação de M, temos
M =L0l(1+alphabarraDe<a Tr) 1+alphaaçoDe<a T ç
Agora colocamos os valores numéricos:
M=20,11, L0=20,05, De<a T=250, alphaaço=1,2times10^-5 ç

Passo 4

A partir da igualdade
20,11 =20,05l(1+alphabarratimes250r) 1+1,2times10^-5times250,
isolamos alphabarra. Primeiro calculemos
1+alphaaçoDe<a T =1+1,2times10^-5times250 =1+0,003 =1,003 ç
Então
20,11 =20,05l(1+250,alphabarrar)1,003 Longrightarrow 20,11times1,003 =20,05l(1+250,alphabarrar)
Calculando o lado esquerdo:
20,11times1,003approx20,17
Logo
20,17 =20,05+20,05cdot250,alphabarra Longrightarrow 20,17-20,05=20,05cdot250,alphabarra
Isto é
0,12 =20,05times250,alphabarra Longrightarrow alphabarra =0,1220,05times250 approx2,4times10^-5,^circC^-1

Resposta

O coeficiente de expansão linear da barra é aproximadamente
alphabarraapprox2,4times10^-5,^circC^-1

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