P. 191 (Mackenzie-SP) Um motor térmico funciona segundo o ciclo de Carnot. A temperatura da fonte quente é 400 K e da fonte fria é 300 K . Em cada ciclo o motor recebe 600 cal da fonte quente. Determine:
a) o rendimento desse motor;
b) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria em cada ciclo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • Temperatura da fonte quente: T_H = 400\\ \text{K}.
  • Temperatura da fonte fria: T_C = 300\\ \text{K}.
  • Calor recebido da fonte quente por ciclo: Q_H = 600\\ \text{cal}.
Perguntas do enunciado:
a) Determinar o rendimento do motor por ciclo.
b) Determinar a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria em cada ciclo.

Passo 2

O que precisamos usar (explicação didática das fórmulas que vamos aplicar).
Definição de rendimento (eficiência): o rendimento \eta de uma máquina térmica é a razão entre o trabalho útil produzido W e o calor absorvido da fonte quente Q_H:
\eta = \frac{W}{Q_H}.
Isso diz quanto do calor que entra vira trabalho (o resto é rejeado para a fonte fria).
Para um ciclo de Carnot (motor reversível ideal entre duas fontes térmicas) há uma fórmula teórica simples e muito usada:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde T_H e T_C são as temperaturas absolutas (em Kelvin) da fonte quente e fria, respectivamente. Importante: deve-se usar Kelvin porque a fórmula envolve razões entre temperaturas absolutas — usar Celsius daria resultados errados.
Outra relação útil que decorre dessa fórmula é a razão entre os calores trocados:
\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H},
onde Q_C é o calor rejeitado para a fonte fria. Essa relação vem de escrever \eta = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} (pois W = Q_H - Q_C) e igualar à expressão de Carnot.

Passo 3

Calcular o rendimento usando a fórmula de Carnot.
Aplicamos
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}.
Substituindo os números dados,
\eta = 1 - \frac{300}{400}.
Fazendo a divisão \frac{300}{400} = 0,75, então
\eta = 1 - 0,75 = 0,25.
Transformando em porcentagem: 0,25 = 25\%.

Passo 4

Calcular o calor rejeitado Q_C usando a relação direta entre os calores (maneira mais rápida e robusta para prova).
Usamos
\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}.
Então
Q_C = Q_H \cdot \frac{T_C}{T_H}.
Substituindo os valores conhecidos:
Q_C = 600 \cdot \frac{300}{400}.
Calcule a fração \frac{300}{400} = 0,75, logo
Q_C = 600 \cdot 0,75 = 450\\ \text{cal}.

Passo 5

Verificação alternativa (calcular o trabalho e checar a conservação de energia).
Podemos também encontrar o trabalho por ciclo como
W = \eta \, Q_H.
Substituindo,
W = 0,25 \cdot 600 = 150\\ \text{cal}.
Como Q_H = W + Q_C, temos Q_C = Q_H - W = 600 - 150 = 450\\ \text{cal}, que confirma o resultado do Passo 4.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo.
Resultado intuitivo: esse motor de Carnot entre 400 K e 300 K transforma apenas 25% do calor recebido em trabalho; os outros 75% (450 cal de cada 600 cal) vão para a fonte fria. Está tudo consistente numericamente — ótimo sinal! Você consegue aplicar esse mesmo caminho em outras questões parecidas: calcule \eta com a fórmula de Carnot e use Q_C = Q_H \cdot T_C/T_H para achar o calor rejeitado.

Resposta

(a) \eta = 0,25 = 25\%
(b) Q_C = 450\\ \text{cal}

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