P. 189 (PUC-RJ) Uma máquina de Carnot é operada entre duas fontes, cujas temperaturas são, respectivamente, 100^{\circ} \mathrm{C} e 0^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo-se que a máquina recebe da fonte quente uma quantidade de calor igual a 1.000 cal por ciclo, pede-se:
a) o rendimento térmico da máquina;
b) o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo (expresso em joules);
c) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria.
(Dado: 1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J} )

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de Carnot com as seguintes informações e pede três coisas:
  • Temperatura da fonte quente: \,100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da fonte fria: \,0^\circ\mathrm{C}.
  • Calor recebido da fonte quente por ciclo: \,1{,}000\\ \text{cal}.
  • Fator de conversão fornecido: 1\\ \text{cal}=4{,}18\\ \text{J}.
    Perguntas:
    a) calcular o rendimento térmico da máquina;
    b) calcular o trabalho realizado por ciclo (em joules);
    c) calcular a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar temperaturas para a escala Kelvin. Por que? Porque a fórmula do rendimento de Carnot usa temperaturas absolutas (Kelvin). A conversão é
T(\text{K}) = t(^{\circ}\text{C}) + 273{,}15.
Aplicando:
T_h = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \text{K},
T_c = 0 + 273{,}15 = 273{,}15\\ \text{K}.
Aqui \,T_h é a temperatura da fonte quente em Kelvin e \,T_c a da fonte fria em Kelvin.

Passo 3

Fórmula do rendimento de uma máquina de Carnot (essa é a máquina mais eficiente possível entre duas fontes térmicas):
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde:
  • \eta é o rendimento adimensional (fração do calor recebido que é convertido em trabalho),
  • T_c e T_h são as temperaturas em Kelvin, como já calculadas.
    Observação didática: o rendimento varia entre 0 e 1; multiplicando por 100\% obtemos a porcentagem de aproveitamento.

Passo 4

Calcular \eta com os valores numéricos:
\eta = 1 - \frac{273{,}15}{373{,}15} = \frac{373{,}15-273{,}15}{373{,}15} = \frac{100}{373{,}15}.
Agora a aproximação decimal:
\eta \approx 0{,}268\quad\text{(adimensional)}.
Em percentagem:
\eta \approx 26{,}8\%.
Interpretação rápida: a máquina converte cerca de 26{,}8\% do calor fornecido em trabalho; o resto é rejeitado para a fonte fria.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho realizado por ciclo. Fórmula básica de energia para um ciclo:
W = \eta\,Q_h,
onde Q_h é o calor recebido da fonte quente. O enunciado deu Q_h = 1{,}000\\ \text{cal}, mas a pergunta (b) pede o trabalho em joules. Primeiro converto Q_h para joules usando 1\\ \text{cal}=4{,}18\\ \text{J}:
Q_h = 1{,}000\\ \text{cal} \times 4{,}18\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}} = 4{,}18\times 10^{3}\\ \text{J}.
Agora calculo W:
W = \eta\,Q_h \approx 0{,}268 \times 4{,}18\times 10^{3}\\ \text{J}.
Multiplicando:
W \approx 1{,}12\times 10^{3}\\ \text{J}\approx 1{,}119{,}4\\ \text{J}.
Para a prova, pode-se escrever W\approx1{,}12\times10^{3}\\ \text{J} (ou 1{,}12\\ \text{kJ}).

Passo 6

Quantidade de calor rejeitada para a fonte fria Q_c. Há duas formas equivalentes (explico as duas para você decorar):
  • Forma 1: Q_c = Q_h - W (energia conservada num ciclo).
  • Forma 2 (especial de Carnot): \dfrac{Q_c}{Q_h} = \dfrac{T_c}{T_h}, logo Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h}.
Uso a forma 2 com Q_h em calorias (assim dá direto em cal):
Q_c = 1{,}000\\ \text{cal}\times\frac{273{,}15}{373{,}15} \approx 1{,}000\times 0{,}732 \approx 732\\ \text{cal}.
Se quiser em joules, converto:
Q_c \approx 732\\ \text{cal}\times 4{,}18\\ \frac{\text{J}}{\text{cal}} \approx 3{,}06\times 10^{3}\\ \text{J}\\ (\text{aprox. }3{,}060\\ \text{J}).
Verificação rápida: W (aprox. 1{,}120\\ \text{J}) +\\ Q_c (aprox. 3{,}060\\ \text{J}) =\\\ 4{,}180\\ \text{J}, que é Q_h convertido — bom sinal, energia conservada.

Resposta

(a) \eta = 1 - \dfrac{273{,}15}{373{,}15} = \dfrac{100}{373{,}15} \approx 0{,}268 = 26{,}8\%.
(b) W = \eta Q_h \approx 0{,}268 \times 4{,}18\times10^{3}\\ \text{J} \approx 1{,}12\times10^{3}\\ \text{J} (ou 1{,}12\\ \text{kJ}).
(c) Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h} \approx 1{,}000\\ \text{cal}\times\frac{273{,}15}{373{,}15} \approx 732\\ \text{cal}\\ (\approx 3{,}06\times10^{3}\\ \text{J}).

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