P. 190 Uma máquina térmica trabalha entre as temperaturas de 127^{\circ} \mathrm{C} e 327^{\circ} \mathrm{C}. Em cada ciclo a substância “trabalhante” dessa máquina retira 200 J de calor da fonte quente e rejeita 160 J de calor para a fonte fria.
a) Qual é a energia útil obtida nessa máquina por ciclo?
b) Determine o rendimento dessa máquina.
c) Qual seria o máximo rendimento dessa máquina com as temperaturas entre as quais opera?

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a, b, c) sobre uma máquina térmica e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que se pede e o que foi informado.
Perguntas:
  • a) Qual é a energia útil obtida por ciclo?
  • b) Determine o rendimento dessa máquina.
  • c) Qual seria o máximo rendimento (Carnot) entre as temperaturas dadas?
Dados fornecidos:
  • A fonte quente tem temperatura \,127^\circ\mathrm{C}.
  • A fonte fria tem temperatura \,327^\circ\mathrm{C}.
  • Em cada ciclo a substância retirou da fonte quente Q_H = 200\\ \mathrm{J}.
  • Em cada ciclo a substância rejeitou para a fonte fria Q_C = 160\\ \mathrm{J}.
Obs.: perceba que as temperaturas estão em graus Celsius e os calores em joules. A resolução começa agora.

Passo 2

Entendendo a energia útil por ciclo (o trabalho produzido): a lei de conservação de energia para um motor térmico nos diz que a energia que entra como calor da fonte quente pode sair como calor para a fonte fria e como trabalho útil. Em fórmula simples:
W = Q_H - Q_C
onde:
  • W é a energia útil por ciclo (o trabalho que o motor fornece),
  • Q_H é o calor retirado da fonte quente por ciclo,
  • Q_C é o calor rejeitado para a fonte fria por ciclo.
Aqui sabemos Q_H = 200\\ \mathrm{J} e Q_C = 160\\ \mathrm{J}. Substituindo:
W = 200 - 160 = 40\\ \mathrm{J}.
Explicação didática rápida: pense assim — o motor pega 200\\ \mathrm{J} de energia térmica; antes de devolver o que não usou para a fonte fria ( 160\\ \mathrm{J}), sobra aquilo que virou trabalho, 40\\ \mathrm{J}. É isso que você “recebe” por ciclo.

Passo 3

Agora vamos definir rendimento (eficiência) e calcular o rendimento real dessa máquina. Rendimento \eta é a fração do calor absorvido que se transforma em trabalho. Em fórmula:
\eta = \frac{W}{Q_H}.
Aqui cada termo significa:
  • \eta é adimensional (ou pode ser expresso em %),
  • W é o trabalho por ciclo (já achado),
  • Q_H é o calor absorvido da fonte quente.
Substituindo W = 40\\ \mathrm{J} e Q_H = 200\\ \mathrm{J}:
\eta = \frac{40}{200} = 0{,}20.
Como porcentagem: \eta = 0{,}20 = 20\%.
Interpretação didática: isso significa que apenas 20% do calor que entrou virou trabalho; 80% foi “jogado fora” para a fonte fria (isto é, rejeitado).

Passo 4

Agora vamos ao rendimento máximo possível entre duas temperaturas — o rendimento de Carnot. Conceito essencial: um motor reversível operando entre duas fontes térmicas tem o rendimento máximo possível entre essas temperaturas; nenhum motor real pode superar esse valor. A fórmula de Carnot é:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • T_H é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte quente,
  • T_C é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte fria.
É crucial usar temperaturas em Kelvin (escala absoluta), porque a fórmula vem da termodinâmica e só funciona com temperaturas absolutas. Para converter graus Celsius para Kelvin usamos:
T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Vamos converter as temperaturas dadas:
  • A fonte fria ( 127^\circ\mathrm{C}) vira T_C = 127 + 273{,}15 = 400{,}15\\ \mathrm{K}.
  • A fonte quente ( 327^\circ\mathrm{C}) vira T_H = 327 + 273{,}15 = 600{,}15\\ \mathrm{K}.
Observação rápida: se alguém arredonda 273{,}15 para 273, obtém T_C=400\\ \mathrm{K} e T_H=600\\ \mathrm{K}, o que dá um número exato 1-\tfrac{400}{600}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}. Aqui vou usar os valores com 273{,}15 para ser mais preciso.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Carnot com os valores em Kelvin:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{400{,}15}{600{,}15}.
Vamos calcular a razão:
\frac{400{,}15}{600{,}15} \approx 0{,}66675\quad(\text{aprox.})
Portanto
\eta_{\text{Carnot}} \approx 1 - 0{,}66675 = 0{,}33325.
Em porcentagem:
\eta_{\text{Carnot}} \approx 33{,}33\%.
Comentário de verificação: o rendimento real que encontramos ( 20\%) é menor que o máximo de Carnot ( \approx 33{,}33\%), como deve acontecer — ótima checagem de consistência.

Passo 6

Recapitulando em linguagem de prova (rápida e prática):
  • A energia útil por ciclo vem direto de W = Q_H - Q_C.
  • O rendimento real é \eta = W/Q_H.
  • O rendimento máximo teórico entre duas temperaturas é dado por \eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_C/T_H, usando temperaturas em Kelvin.
Força aí — você já tem os passos que caem na prova e sabe por que cada fórmula vale. Dá pra decorar a sequência: converter temperaturas → achar W → achar \eta → comparar com \eta_{\text{Carnot}}.

Resposta

a) 40\\ \mathrm{J}
b) \eta = 0{,}20 = 20\%
c) \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \dfrac{400{,}15}{600{,}15} \approx 0{,}33325 \approx 33{,}33\%

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