4.21 Um conjunto cilindro-pistão apresenta, inicialmente, um volume de
e contém
de água a
. A água é comprimida segundo um processo quase-estático isotérmico até que o título seja
. Calcular o trabalho realizado neste processo.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com clareza):
-
Dados fornecidos:
- Volume inicial
. - Massa de água
. - Temperatura constante durante o processo
. - Processo: compressão quase-estática isotérmica (ou seja, temperatura mantida constante).
- Estado final pedido: título (qualidade)
.
- Volume inicial
-
O que se pede:
- Calcular o trabalho realizado nesse processo.
-
Observações úteis (que vamos usar nos passos seguintes):
- Para um processo isotérmico com mudança de fase, o caminho típico é: compressão do vapor superaquecido até o vapor saturado (se houver superaquecimento), depois compressão (condensação parcial) a pressão de saturação até a qualidade desejada.
- Para tratar o vapor superaquecido podemos usar a aproximação de gás ideal se a pressão for baixa (vamos justificar e aplicar isso).
- Precisaremos das propriedades de água saturada à
: pressão de saturação e volume específico do líquido saturado . Estes valores são obtidos em tabelas de vapor (vou declarar explicitamente os valores que usei).
Passo 2
Calcular o volume específico inicial e verificar que tipo de vapor temos inicialmente.
- Definição: o volume específico é
, onde é o volume total e a massa. - Cálculo:
- Interpretação (apenas cálculo neste passo): o fluido tem
. Em passos seguintes vamos comparar esse valor com os volumes específicos de saturação para decidir se o estado inicial é superaquecido, saturado ou líquido comprimido.
Passo 3
Pegar as propriedades de saturação à
e calcular o volume específico do vapor saturado.
- Peguei das tabelas de vapor d’água (tabelas de saturação) os seguintes valores para
: -
. -
(volume específico do líquido saturado).
-
- Para o volume específico do vapor saturado
pode-se usar o valor tabelado. Aqui farei uma aproximação prática e bem justificada: como a pressão de saturação é relativamente baixa, o vapor saturado/ superaquecido se comporta quase como gás ideal. Portanto calculo pela equação dos gases ideais (por unidade de massa): onde: -
é a constante específica do vapor d’água: (equivalente a ), -
em Kelvin: , -
em .
-
- Cálculo:
- Observação didática: esta aproximação é boa porque o vapor a baixas pressões se aproxima do comportamento ideal; se se quisesse máxima precisão, poderia usar o valor tabelado de
, mas o resultado numérico fica próximo.
Passo 4
Determinar a natureza do estado inicial e os volumes intermediários importantes.
- Comparar
com : Logo o estado inicial é vapor superaquecido (especificidade: à mesma temperatura, mas com volume específico maior que o vapor saturado). - Portanto o processo isotérmico de compressão tem duas etapas:
- Compressão do vapor superaquecido de
até atingir o estado de vapor saturado (volume total ). - Compressão (condensação parcial) a pressão constante
desde o vapor saturado até a mistura com qualidade .
- Compressão do vapor superaquecido de
- Calcular volumes totais correspondentes:
- Volume total do vapor saturado:
- Volume específico final (mistura) usando
. Com : - Volume total final:
- Volume total do vapor saturado:
- Resumo das volumes:
-
(início, superaquecido), -
(ponto onde vapor vira saturado), -
(final, mistura com ).
-
Passo 5
Expressar o trabalho total como soma das duas etapas e escolher convenção de sinais.
- Convenção adotada aqui: calculo primeiro o trabalho efetuado pelo sistema (trabalho pelo fluido) definido por
Como o processo é de compressão ( diminui), virá negativo; o trabalho realizado sobre o sistema (pelo entorno) é e será positivo. No enunciado “trabalho realizado” costuma referir-se ao trabalho efetuado sobre o fluido; ao final dou o valor com esse sinal positivo. - O trabalho total (pelo sistema) se decompõe:
onde -
é o trabalho durante a compressão do vapor superaquecido ( ); -
é o trabalho durante a compressão na zona de duas fases (isobárica) ( ).
-
Passo 6
Calcular o trabalho na primeira etapa (superaquecido) usando a aproximação de gás ideal.
- Justificativa da fórmula: no regime de vapor superaquecido, aproximamos por gás ideal, então a equação de estado é
Assim, a pressão durante a compressão varia com o volume conforme . O trabalho do sistema na variação de volume de a é (Nota: esta expressão dá se , como esperado para compressão.) - Valores numéricos:
-
, -
, -
, -
, -
.
-
- Calcular
: - Calcular
:
Passo 7
Calcular o trabalho na segunda etapa (zona bifásica, pressão constante).
- Na região de duas fases, a pressão é a pressão de saturação
e permanece constante durante a compressão parcial. Portanto - Usando
(pois ):
Passo 8
Somar as contribuições e interpretar o sinal (trabalho sobre o sistema).
- Trabalho total efetuado pelo sistema:
- Trabalho realizado sobre o sistema (valor positivo, usualmente pedido para compressão):
- Interpretação final: a compressão isotérmica quase-estática desde o estado inicial até a mistura com
requer aproximadamente de trabalho realizado sobre o fluido. (O sinal positivo indica trabalho realizado sobre o sistema.)