4.21 Um conjunto cilindro-pistão apresenta, inicialmente, um volume de 3 \mathrm{~m}^{3} e contém 0,1 \mathrm{~kg} de água a 40^{\circ} \mathrm{C}. A água é comprimida segundo um processo quase-estático isotérmico até que o título seja 50 \%. Calcular o trabalho realizado neste processo.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com clareza):
  • Dados fornecidos:
    • Volume inicial V_1 = 3\\ \mathrm{m}^3.
    • Massa de água m = 0,1\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura constante durante o processo T = 40^\circ\mathrm{C}.
    • Processo: compressão quase-estática isotérmica (ou seja, temperatura mantida constante).
    • Estado final pedido: título (qualidade) x_2 = 50\% = 0{,}5.
  • O que se pede:
    • Calcular o trabalho realizado nesse processo.
  • Observações úteis (que vamos usar nos passos seguintes):
    • Para um processo isotérmico com mudança de fase, o caminho típico é: compressão do vapor superaquecido até o vapor saturado (se houver superaquecimento), depois compressão (condensação parcial) a pressão de saturação até a qualidade desejada.
    • Para tratar o vapor superaquecido podemos usar a aproximação de gás ideal se a pressão for baixa (vamos justificar e aplicar isso).
    • Precisaremos das propriedades de água saturada à 40^\circ\mathrm{C}: pressão de saturação P_{\mathrm{sat}} e volume específico do líquido saturado v_f. Estes valores são obtidos em tabelas de vapor (vou declarar explicitamente os valores que usei).

Passo 2

Calcular o volume específico inicial e verificar que tipo de vapor temos inicialmente.
  • Definição: o volume específico é v = V/m, onde V é o volume total e m a massa.
  • Cálculo: v_1 = \frac{V_1}{m} = \frac{3}{0,1} = 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Interpretação (apenas cálculo neste passo): o fluido tem v_1 = 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Em passos seguintes vamos comparar esse valor com os volumes específicos de saturação para decidir se o estado inicial é superaquecido, saturado ou líquido comprimido.

Passo 3

Pegar as propriedades de saturação à 40^\circ\mathrm{C} e calcular o volume específico do vapor saturado.
  • Peguei das tabelas de vapor d’água (tabelas de saturação) os seguintes valores para T=40^\circ\mathrm{C}:
    • P_{\mathrm{sat}}(40^\circ\mathrm{C}) = 7{,}384\\ \mathrm{kPa}.
    • v_f(40^\circ\mathrm{C}) \approx 0{,}001008\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} (volume específico do líquido saturado).
  • Para o volume específico do vapor saturado v_g pode-se usar o valor tabelado. Aqui farei uma aproximação prática e bem justificada: como a pressão de saturação é relativamente baixa, o vapor saturado/ superaquecido se comporta quase como gás ideal. Portanto calculo v_g pela equação dos gases ideais (por unidade de massa): v_g \approx \frac{R\,T}{P_{\mathrm{sat}}},onde:
    • R é a constante específica do vapor d’água: R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} (equivalente a 0{,}4615\\ \mathrm{kPa\;m^3/(kg\;K)}),
    • T em Kelvin: T = 40^\circ\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K},
    • P_{\mathrm{sat}} em \mathrm{kPa}.
  • Cálculo: v_g \approx \frac{0{,}4615\cdot 313{,}15}{7{,}384} \approx 19{,}58\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • Observação didática: esta aproximação é boa porque o vapor a baixas pressões se aproxima do comportamento ideal; se se quisesse máxima precisão, poderia usar o valor tabelado de v_g, mas o resultado numérico fica próximo.

Passo 4

Determinar a natureza do estado inicial e os volumes intermediários importantes.
  • Comparar v_1 com v_g: v_1 = 30\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} > v_g \approx 19{,}58\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.Logo o estado inicial é vapor superaquecido (especificidade: à mesma temperatura, mas com volume específico maior que o vapor saturado).
  • Portanto o processo isotérmico de compressão tem duas etapas:
    1. Compressão do vapor superaquecido de V_1 até atingir o estado de vapor saturado (volume total V_g).
    2. Compressão (condensação parcial) a pressão constante P_{\mathrm{sat}} desde o vapor saturado até a mistura com qualidade x_2=0{,}5.
  • Calcular volumes totais correspondentes:
    • Volume total do vapor saturado: V_g = m\,v_g = 0{,}1 \cdot 19{,}58 = 1{,}958\\ \mathrm{m}^3.
    • Volume específico final (mistura) usando v = v_f + x\,(v_g - v_f). Com x_2=0{,}5: v_2 = v_f + 0{,}5\,(v_g - v_f) \approx 0{,}001008 + 0{,}5(19{,}58 - 0{,}001008)\approx 9{,}792\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
    • Volume total final: V_2 = m\,v_2 = 0{,}1\cdot 9{,}792 = 0{,}9792\\ \mathrm{m}^3.
  • Resumo das volumes:
    • V_1 = 3{,}000\\ \mathrm{m}^3 (início, superaquecido),
    • V_g \approx 1{,}958\\ \mathrm{m}^3 (ponto onde vapor vira saturado),
    • V_2 \approx 0{,}9792\\ \mathrm{m}^3 (final, mistura com x=0{,}5).

Passo 5

Expressar o trabalho total como soma das duas etapas e escolher convenção de sinais.
  • Convenção adotada aqui: calculo primeiro o trabalho efetuado pelo sistema (trabalho pelo fluido) definido por W_{\text{by}}=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.Como o processo é de compressão ( V diminui), W_{\text{by}} virá negativo; o trabalho realizado sobre o sistema (pelo entorno) é W_{\text{on}}=-W_{\text{by}} e será positivo. No enunciado “trabalho realizado” costuma referir-se ao trabalho efetuado sobre o fluido; ao final dou o valor com esse sinal positivo.
  • O trabalho total (pelo sistema) se decompõe: W_{\text{by}} = W_1 + W_2,onde
    • W_1 é o trabalho durante a compressão do vapor superaquecido ( V_1\to V_g);
    • W_2 é o trabalho durante a compressão na zona de duas fases (isobárica) ( V_g\to V_2).

Passo 6

Calcular o trabalho na primeira etapa (superaquecido) usando a aproximação de gás ideal.
  • Justificativa da fórmula: no regime de vapor superaquecido, aproximamos por gás ideal, então a equação de estado é P V = m R T.Assim, a pressão durante a compressão varia com o volume conforme P = \dfrac{m R T}{V}. O trabalho do sistema na variação de volume de V_1 a V_g é W_1 = \int_{V_1}^{V_g} \frac{m R T}{V}\,dV = m R T \ln\!\left(\frac{V_g}{V_1}\right).(Nota: esta expressão dá W_1<0 se V_g<V_1, como esperado para compressão.)
  • Valores numéricos:
    • R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)},
    • T = 313{,}15\\ \mathrm{K},
    • m = 0{,}1\\ \mathrm{kg},
    • V_g \approx 1{,}958\\ \mathrm{m}^3,
    • V_1 = 3{,}000\\ \mathrm{m}^3.
  • Calcular mRT: m R T = 0{,}1\cdot 0{,}4615\cdot 313{,}15 \approx 14{,}456\\ \mathrm{kJ}.
  • Calcular W_1: W_1 = 14{,}456\cdot \ln\!\left(\frac{1{,}958}{3{,}000}\right) = 14{,}456\cdot \ln(0{,}6528)\approx 14{,}456\cdot(-0{,}42795)\approx -6{,}19\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Calcular o trabalho na segunda etapa (zona bifásica, pressão constante).
  • Na região de duas fases, a pressão é a pressão de saturação P_{\mathrm{sat}} e permanece constante durante a compressão parcial. Portanto W_2 = \int_{V_g}^{V_2} P_{\mathrm{sat}}\,dV = P_{\mathrm{sat}}\,(V_2 - V_g).
  • Usando P_{\mathrm{sat}} = 7{,}384\\ \mathrm{kPa} = 7{,}384\\ \mathrm{kJ/m^3} (pois 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}): W_2 = 7{,}384\cdot (0{,}9792 - 1{,}958)\\ \mathrm{kJ} = 7{,}384\cdot(-0{,}9788)\approx -7{,}23\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Somar as contribuições e interpretar o sinal (trabalho sobre o sistema).
  • Trabalho total efetuado pelo sistema: W_{\text{by}} = W_1 + W_2 \approx -6{,}19 + (-7{,}23) = -13{,}42\\ \mathrm{kJ}.
  • Trabalho realizado sobre o sistema (valor positivo, usualmente pedido para compressão): W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} \approx 13{,}42\\ \mathrm{kJ}.
  • Interpretação final: a compressão isotérmica quase-estática desde o estado inicial até a mistura com x=0{,}5 requer aproximadamente 13{,}4\\ \mathrm{kJ} de trabalho realizado sobre o fluido. (O sinal positivo indica trabalho realizado sobre o sistema.)

Resposta

W_{\text{on}}\approx 13{,}4\\ \mathrm{kJ}

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