4.11 Um conjunto cilindro-pistão contém, inicialmente,
de um gás a 1 MPa e
. O gás é então expandido num processo onde
cte. Admitindo que a pressão final seja igual a 100 kPa , determine o trabalho envolvido neste processo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados iniciais (peguei estes valores do enunciado):
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
(valor dado, mas não será necessário para calcular o trabalho quando const). - Pressão final:
.
- Volume inicial:
-
O enunciado pede: determinar o trabalho envolvido no processo em que
constante e a pressão final é .
Passo 2
Entendendo a relação
constante e como obter
.
- A condição
constante significa que existe uma constante tal que
- Em particular, entre os estados 1 e 2 vale
- Usando isso podemos obter o volume final
isolando:
- Agora substituo os valores conhecidos:
- Calculo passo a passo:
Portanto
. (Veja que a pressão caiu por um fator 10, então o volume aumentou por um fator 10.)
Passo 3
Fórmula geral do trabalho para um processo
constante e caso especial
.
- O trabalho realizado por um gás em um processo quasistático entre
e é
- Se a relação entre
e é constante, para obtém-se a forma fechada
- No caso dado,
constante corresponde a . Para a fórmula acima dá uma indeterminação; o caso correto é integrar :
Substituindo na integral do trabalho:
- Em termos dos dados iniciais isso fica
Passo 4
Substituir os valores e calcular numericamente.
- Já calculamos
e . - Então
- Usando
,
- Arredondando com boa precisão (3 algarismos significativos):
Passo 5
Interpretação do sinal e comentário físico.
- Como
o gás se expandiu; pela convenção comum (trabalho realizado pelo gás positivo), o trabalho calculado é o trabalho efetuado PELO gás sobre o ambiente. - Observação sobre a temperatura: se o gás comporta-se como gás ideal, a condição
constante é equivalente a processo isotérmico (temperatura constante). Nesse caso a temperatura inicial dada confirmaria que o processo seria isotérmico, mas para calcular o trabalho não foi preciso usar explicitamente a temperatura — bastou a relação constante.