4.11 Um conjunto cilindro-pistão contém, inicialmente, 0,1 \mathrm{~m}^{3} de um gás a 1 MPa e 500^{\circ} \mathrm{C}. O gás é então expandido num processo onde p V= cte. Admitindo que a pressão final seja igual a 100 kPa , determine o trabalho envolvido neste processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados iniciais (peguei estes valores do enunciado):
    • Volume inicial: V_1 = 0,1\\ \mathrm{m}^3.
    • Pressão inicial: p_1 = 1\\ \mathrm{MPa} = 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Temperatura inicial: 500^\circ\mathrm{C} (valor dado, mas não será necessário para calcular o trabalho quando pV= const).
    • Pressão final: p_2 = 100\\ \mathrm{kPa} = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • O enunciado pede: determinar o trabalho envolvido no processo em que pV= constante e a pressão final é p_2.

Passo 2

Entendendo a relação pV= constante e como obter V_2.
  • A condição pV= constante significa que existe uma constante C tal que
pV=C.
  • Em particular, entre os estados 1 e 2 vale
p_1 V_1 = p_2 V_2 = C.
  • Usando isso podemos obter o volume final V_2 isolando:
V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}.
  • Agora substituo os valores conhecidos:
V_2 = \frac{1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}1\\ \mathrm{m}^3}{1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}.
  • Calculo passo a passo:
p_1 V_1 = 1{,}0\times10^{6}\times 0{,}1 = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
V_2 = \frac{1{,}0\times10^{5}}{1{,}0\times10^{5}} = 10\times 0{,}1\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}0\\ \mathrm{m}^3.
Portanto V_2 = 1{,}0\\ \mathrm{m}^3. (Veja que a pressão caiu por um fator 10, então o volume aumentou por um fator 10.)

Passo 3

Fórmula geral do trabalho para um processo pV^n= constante e caso especial n=1.
  • O trabalho realizado por um gás em um processo quasistático entre V_1 e V_2 é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
  • Se a relação entre p e V é pV^n= constante, para n\neq 1 obtém-se a forma fechada
W=\frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.
  • No caso dado, pV= constante corresponde a n=1. Para n=1 a fórmula acima dá uma indeterminação; o caso correto é integrar p=C/V:
p=\frac{C}{V}\quad\text{com}\quad C=p_1 V_1.
Substituindo na integral do trabalho:
W=\int_{V_1}^{V_2} \frac{C}{V}\,\mathrm{d}V = C\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V = C\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
  • Em termos dos dados iniciais isso fica
W = p_1 V_1 \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).

Passo 4

Substituir os valores e calcular numericamente.
  • Já calculamos p_1 V_1 = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J} e V_2/V_1 = \dfrac{1{,}0}{0{,}1}=10.
  • Então
W = 1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J}\times \ln(10).
  • Usando \ln(10)\approx 2{,}302585093,
W \approx 1{,}0\times10^{5}\times 2{,}302585093 = 2{,}302585093\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando com boa precisão (3 algarismos significativos):
W \approx 2{,}30\times10^{5}\\ \mathrm{J} = 230\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Interpretação do sinal e comentário físico.
  • Como V_2>V_1 o gás se expandiu; pela convenção comum (trabalho realizado pelo gás positivo), o trabalho calculado é o trabalho efetuado PELO gás sobre o ambiente.
  • Observação sobre a temperatura: se o gás comporta-se como gás ideal, a condição pV= constante é equivalente a processo isotérmico (temperatura constante). Nesse caso a temperatura inicial dada confirmaria que o processo seria isotérmico, mas para calcular o trabalho não foi preciso usar explicitamente a temperatura — bastou a relação pV= constante.

Resposta

W = 2{,}30\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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