Exercicio 06. Para um sistema fechado contendo um gás ideal acoplado a um pistão e a um banho térmico com temperatura constante T , o trabalho de expansão reversível do gás é dado por,
onde n e R correspondem respectivamente ao número de moles do gás e a constante do gás. (a) Para 1 mol de gás ideal variando sua pressão de 20 atm a 2 atm durante uma expansão isotérmica reversível à 300 K , qual é o trabalho sofrido pelo gás? (b) Represente graficamente o trabalho calculado na letra (a) isto é, em um gráfico da
versus o volume do gás ideal
. Qual seria o trabalho caso o processo descrito fosse irreversível? Justifique a resposta no mesmo gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Dados fornecidos:
-
mol (número de mols do gás). - Processo isotérmico reversível a
. - Pressão inicial
. - Pressão final
. - Fórmula já indicada para trabalho reversível isotérmico:
-
-
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Para 1 mol, qual é o trabalho sofrido pelo gás ao variar depara numa expansão isotérmica reversível a ?
(b) Representar graficamenteversus para o caso da letra (a) (ou seja, o processo reversível) e indicar qual seria o trabalho se o processo fosse irreversível; justificar essa resposta no mesmo gráfico.
Passo 2
Entendendo a fórmula do trabalho isotérmico reversível (aula rápida):
- Definição geral do trabalho de expansão (convenção química):
. Aqui é o trabalho realizado sobre o sistema; se o sistema expande ( ) o trabalho é negativo — o sistema realiza trabalho sobre o entorno. - Para um processo reversível o sistema está sempre em equilíbrio com o entorno, então
. - Para gás ideal em isoterma vale a equação de estado
. Então, ao substituir em :
- Como
, e são constantes na isoterma, podem sair da integral:
Explicação do que cada símbolo significa:
-
: trabalho (energia trocada como trabalho; negativo aqui indica que o gás faz trabalho sobre o ambiente), -
: número de mols, -
: constante universal dos gases, -
: temperatura absoluta (K), -
: volumes inicial e final do gás.
Passo 3
Relacionando volumes e pressões pelo gás ideal (para poder usar a fórmula sem conhecer volumes numéricos):
- Da lei dos gases ideais em cada estado:
Dividindo as duas equações:
- Com os dados dados:
. Logo . Isso simplifica a aplicação da fórmula do trabalho pois só precisamos do logaritmo da razão de volumes.
Passo 4
Cálculo numérico do trabalho reversível (parte a), passo a passo:
- Usamos a fórmula:
- Substituindo
, e . - Podemos calcular em unidades de energia diretamente usando
. Então:
- Calculemos em etapas:
-
. -
. -
.
-
- Portanto:
(Em unidades alternativas: se usar
, obtém-se
, que convertido com
dá o mesmo valor em joules.)
Passo 5
Interpretação do sinal e frase motivadora:
- O resultado
significa que, segundo a convenção , o gás realizou trabalho sobre o ambiente durante a expansão. Então o “trabalho sofrido pelo gás” (isto é, trabalho feito sobre o gás) é negativo — na prática, o gás perdeu energia realizando trabalho. - Ótimo! Está indo bem — já temos a resposta numérica para (a).
Passo 6
Representação gráfica de
para o processo reversível e entendimento da área:
- Para o processo reversível isotérmico,
. Esta é uma hipérbole decrescente no gráfico vs , que passa pelos pontos e . - Valores numéricos dos volumes (opcionais, para facilitar o desenho):
- Usando
:
- Usando
- No gráfico
: - A curva reversível é a hipérbole
(quando em atm e em L, porque ). - O trabalho (com sinal) é
área sob a curva entre e , isto é:
- A curva reversível é a hipérbole
Passo 7
Cenário irreversível típico e cálculo do trabalho irreversível:
- Um caso comum de processo irreversível é a expansão contra uma pressão externa constante
. Uma escolha natural para comparar é tomar (a pressão final do gás), ou seja . Nesse caso o gás “empurra” contra uma pressão fixa de até atingir . - Para pressão externa constante:
- Já calculamos que
, então . Com : - Logo, com
: - Convertendo para joules (
):
Passo 8
Justificativa gráfica e comparação entre reversível e irreversível:
- No gráfico
vs : - O processo irreversível com
constante é representado por uma linha horizontal desde até . A área sob essa linha (retângulo) é . - O processo reversível é a área sob a hipérbole
entre os mesmos volumes; essa área é .
- O processo irreversível com
- Comparando as áreas: numericamente
enquanto . A área sob a hipérbole é maior do que a área do retângulo horizontal em . Por isso: - A expansão reversível entrega (faz) mais trabalho ao entorno do que a expansão irreversível contra a mesma pressão final constante.
- Observação de extremos: se
fosse bem menor (por exemplo, expansão livre ), o trabalho irreversível seria ainda menor (até zero). O reversível dá o máximo trabalho recuperável entre dois estados isotermais, por isso é o caso que maximiza .
Resposta
(a)
(equivalente a
).
(b) Para uma expansão irreversível contra :
(equivalente a
).
(b) Para uma expansão irreversível contra