Exercicio 06. Para um sistema fechado contendo um gás ideal acoplado a um pistão e a um banho térmico com temperatura constante T , o trabalho de expansão reversível do gás é dado por,
W=-n R T \int_{V 1}^{V 2} \frac{d V}{V}=-n R T \ln \frac{V 2}{V 1}
onde n e R correspondem respectivamente ao número de moles do gás e a constante do gás. (a) Para 1 mol de gás ideal variando sua pressão de 20 atm a 2 atm durante uma expansão isotérmica reversível à 300 K , qual é o trabalho sofrido pelo gás? (b) Represente graficamente o trabalho calculado na letra (a) isto é, em um gráfico da \mathrm{P}_{\text {ext }} versus o volume do gás ideal \mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\mathrm{V}). Qual seria o trabalho caso o processo descrito fosse irreversível? Justifique a resposta no mesmo gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • n=1 mol (número de mols do gás).
    • Processo isotérmico reversível a T=300\\ \mathrm{K}.
    • Pressão inicial P_1=20\\ \mathrm{atm}.
    • Pressão final P_2=2\\ \mathrm{atm}.
    • Fórmula já indicada para trabalho reversível isotérmico:
    W=-nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    (a) Para 1 mol, qual é o trabalho sofrido pelo gás ao variar de 20\\ \mathrm{atm} para 2\\ \mathrm{atm} numa expansão isotérmica reversível a 300\\ \mathrm{K}?
    (b) Representar graficamente P_{\mathrm{ext}} versus V para o caso da letra (a) (ou seja, o processo reversível) e indicar qual seria o trabalho se o processo fosse irreversível; justificar essa resposta no mesmo gráfico.

Passo 2

Entendendo a fórmula do trabalho isotérmico reversível (aula rápida):
  • Definição geral do trabalho de expansão (convenção química): W=-\displaystyle\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,dV. Aqui W é o trabalho realizado sobre o sistema; se o sistema expande ( dV>0) o trabalho é negativo — o sistema realiza trabalho sobre o entorno.
  • Para um processo reversível o sistema está sempre em equilíbrio com o entorno, então P_{\mathrm{ext}}=P_{\text{gas}}.
  • Para gás ideal em isoterma vale a equação de estado PV=nRT. Então, ao substituir P_{\text{gas}}=\dfrac{nRT}{V} em W:
W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,dV.
  • Como n, R e T são constantes na isoterma, podem sair da integral:
W=-nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V}=-nRT\left[\ln V\right]_{V_1}^{V_2}=-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • W: trabalho (energia trocada como trabalho; negativo aqui indica que o gás faz trabalho sobre o ambiente),
  • n: número de mols,
  • R: constante universal dos gases,
  • T: temperatura absoluta (K),
  • V_1,V_2: volumes inicial e final do gás.

Passo 3

Relacionando volumes e pressões pelo gás ideal (para poder usar a fórmula sem conhecer volumes numéricos):
  • Da lei dos gases ideais em cada estado:
P_1V_1=nRT,\qquad P_2V_2=nRT.
Dividindo as duas equações:
\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_1}{P_2}.
  • Com os dados dados: \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{20}{2}=10. Logo V_2=10\,V_1. Isso simplifica a aplicação da fórmula do trabalho pois só precisamos do logaritmo da razão de volumes.

Passo 4

Cálculo numérico do trabalho reversível (parte a), passo a passo:
  • Usamos a fórmula:
W_{\text{rev}}=-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.
  • Substituindo n=1, T=300\\ \mathrm{K} e \dfrac{V_2}{V_1}=10.
  • Podemos calcular em unidades de energia diretamente usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Então:
W_{\text{rev}}=-1\cdot 8{,}314\cdot 300\cdot\ln(10).
  • Calculemos em etapas:
    • \ln(10)\approx 2{,}302585093.
    • 300\cdot\ln(10)\approx 690{,}7755.
    • 8{,}314\cdot 690{,}7755\approx 5{,}746{,}7.
  • Portanto:
W_{\text{rev}}\approx -5{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
(Em unidades alternativas: se usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, obtém-se W_{\text{rev}}\approx -56{,}70\\ \mathrm{L\cdot atm}, que convertido com 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J} dá o mesmo valor em joules.)

Passo 5

Interpretação do sinal e frase motivadora:
  • O resultado W_{\text{rev}}<0 significa que, segundo a convenção W=-\int P_{\mathrm{ext}}dV, o gás realizou trabalho sobre o ambiente durante a expansão. Então o “trabalho sofrido pelo gás” (isto é, trabalho feito sobre o gás) é negativo — na prática, o gás perdeu energia realizando trabalho.
  • Ótimo! Está indo bem — já temos a resposta numérica para (a).

Passo 6

Representação gráfica de P_{\mathrm{ext}}(V) para o processo reversível e entendimento da área:
  • Para o processo reversível isotérmico, P_{\mathrm{ext}}(V)=P_{\text{gas}}(V)=\dfrac{nRT}{V}. Esta é uma hipérbole decrescente no gráfico P vs V, que passa pelos pontos (V_1,P_1) e (V_2,P_2).
  • Valores numéricos dos volumes (opcionais, para facilitar o desenho):
    • Usando R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}:
    V_1=\frac{nRT}{P_1}=\frac{1\cdot 0{,}082057\cdot 300}{20}\approx 1{,}2309\\ \mathrm{L},
V_2=10V_1\approx 12{,}3086\\ \mathrm{L}.
  • No gráfico P\times V:
    • A curva reversível é a hipérbole P=\dfrac{24{,}6171}{V} (quando P em atm e V em L, porque nRT\approx24{,}6171\\ \mathrm{L\cdot atm}).
    • O trabalho (com sinal) é W=- área sob a curva P(V) entre V_1 e V_2, isto é:
    |W_{\text{rev}}|=\int_{V_1}^{V_2}P(V)\,dV=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Passo 7

Cenário irreversível típico e cálculo do trabalho irreversível:
  • Um caso comum de processo irreversível é a expansão contra uma pressão externa constante P_{\mathrm{ext}}. Uma escolha natural para comparar é tomar P_{\mathrm{ext}}=P_2 (a pressão final do gás), ou seja P_{\mathrm{ext}}=2\\ \mathrm{atm}. Nesse caso o gás “empurra” contra uma pressão fixa de 2\\ \mathrm{atm} até atingir V_2.
  • Para pressão externa constante:
W_{\text{irrev}}=-P_{\mathrm{ext}}(V_2-V_1).
  • Já calculamos que V_2=10V_1, então V_2-V_1=9V_1. Com V_1\approx1{,}2309\\ \mathrm{L}: V_2-V_1\approx 11{,}0777\\ \mathrm{L}.
  • Logo, com P_{\mathrm{ext}}=2\\ \mathrm{atm}: W_{\text{irrev}}=-2\\ \mathrm{atm}\times 11{,}0777\\ \mathrm{L}\approx -22{,}1554\\ \mathrm{L\cdot atm}.
  • Convertendo para joules ( 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}): W_{\text{irrev}}\approx -22{,}1554\times101{,}325\\ \mathrm{J}\approx -2{,}247\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Justificativa gráfica e comparação entre reversível e irreversível:
  • No gráfico P vs V:
    • O processo irreversível com P_{\mathrm{ext}}= constante é representado por uma linha horizontal P=2\\ \mathrm{atm} desde V_1 até V_2. A área sob essa linha (retângulo) é |W_{\text{irrev}}|.
    • O processo reversível é a área sob a hipérbole P=nRT/V entre os mesmos volumes; essa área é |W_{\text{rev}}|.
  • Comparando as áreas: numericamente |W_{\text{rev}}|=nRT\ln(10)\approx 5{,}747\\ \mathrm{J} enquanto |W_{\text{irrev}}|=P_{\mathrm{ext}}(V_2-V_1)\approx 2{,}247\\ \mathrm{J}. A área sob a hipérbole é maior do que a área do retângulo horizontal em P=2\\ \mathrm{atm}. Por isso:
    • A expansão reversível entrega (faz) mais trabalho ao entorno do que a expansão irreversível contra a mesma pressão final constante.
  • Observação de extremos: se P_{\mathrm{ext}} fosse bem menor (por exemplo, expansão livre P_{\mathrm{ext}}\approx0), o trabalho irreversível seria ainda menor (até zero). O reversível dá o máximo trabalho recuperável entre dois estados isotermais, por isso é o caso que maximiza |W|.

Resposta

(a) W_{\text{rev}}\approx -5{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{J} (equivalente a -56{,}70\\ \mathrm{L\cdot atm}).
(b) Para uma expansão irreversível contra P_{\mathrm{ext}}=2\\ \mathrm{atm}: W_{\text{irrev}}\approx -2{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{J} (equivalente a -22{,}16\\ \mathrm{L\cdot atm}).

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