2.16 0 dióxido de carbono a 280 K pode existir em três fases diferentes:vapor,líquido e sólido.Indique a faixa de pressão para cada fase.

Passo 1

O enunciado pede: para o dióxido de carbono à temperatura \;280\\ \text{K}\; indique a faixa de pressão em que ele existe como vapor, como líquido e como sólido.
Informações relevantes (valores tabulados que usarei):
\;T_{\text{trip}}=216{,}55\\ \text{K},\;P_{\text{trip}}=5{,}185\\ \text{bar} (ponto triplo do CO _2)
\;T_c=304{,}13\\ \text{K},\;P_c\approx73{,}8\\ \text{bar} (ponto crítico do CO _2).
Temperatura dada: \;T=280\\ \text{K}.

Passo 2

Conceito físico e estratégia (explicação didática): para uma temperatura fixa a que determina quais fases aparecem é a pressão relativa às curvas de equilíbrio do diagrama de fases. As duas curvas que nos interessam aqui são: a curva vapor–líquido (pressão de saturação \;P_{\text{sat}}(T)) e a curva sólido–líquido (pressão de fusão \;P_{\text{fus}}(T)). Para um dado \;T:
  • se \;P < P_{\text{sat}}(T) a fase está no estado vapor;
  • se \;P_{\text{sat}}(T) < P < P_{\text{fus}}(T) a fase está no estado líquido;
  • se \;P > P_{\text{fus}}(T) a fase está no estado sólido.
Vou então estimar numericamente \;P_{\text{sat}}(280\\ \text{K}) (vapor–líquido) e \;P_{\text{fus}}(280\\ \text{K}) (sólido–líquido). As estimativas usam relações termodinâmicas clássicas (explicadas nos passos seguintes) e algumas aproximações razoáveis — o objetivo é obter as faixas de pressão na ordem de grandeza correta, que é o que normalmente se pede neste tipo de questão.

Passo 3

Estimativa de \;P_{\text{sat}}(280\\ \text{K}) (vapor–líquido) usando a forma linearizada da equação de Clausius–Clapeyron: para muitos líquidos, na faixa entre dois pontos, \ln P varia aproximadamente linearmente com 1/T. Assim podemos ajustar uma reta usando dois pontos tabulados da curva de vapor: o ponto triplo e o ponto crítico (aproximação prática para estimativa). A forma usada é
\ln P = a\left(\frac{1}{T}\right) + b.
Usando os pontos (T_1,P_1)=(216{,}55\\ \text{K},\,5{,}185\\ \text{bar}) e (T_2,P_2)=(304{,}13\\ \text{K},\,73{,}8\\ \text{bar}) calculo:
\ln P_1=\ln(5{,}185)=1{,}644,\qquad \ln P_2=\ln(73{,}8)=4{,}301,
\frac{1}{T_1}=0{,}004617\\ \text{K}^{-1},\qquad \frac{1}{T_2}=0{,}003288\\ \text{K}^{-1}.
A inclinação da reta é
a=\frac{\ln P_2-\ln P_1}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}} =\frac{4{,}301-1{,}644}{0{,}003288-0{,}004617}\approx -1{,}999\times10^{3}.
Constante b:
b=\ln P_1 - a\left(\frac{1}{T_1}\right)\approx 1{,}644 -(-1999)\cdot0{,}004617 \approx 10{,}87.
Agora avalio em T=280\\ \text{K} ( \;1/T=0{,}0035714):
\ln P_{\text{sat}}(280)=a\cdot\frac{1}{280}+b\approx -1999\cdot0{,}0035714 +10{,}87 \approx 3{,}73,
P_{\text{sat}}(280)\approx e^{3{,}73}\approx 4{,}18\times10^{1}\\ \text{bar}\approx 42\\ \text{bar}.
Interpretação: a pressão de vapor (saturção) do CO _2 a 280\\ \text{K} é da ordem de \;4\times10^{1}\\ \text{bar} (aprox. \;40\text{–}45\\ \text{bar}). Em pressões menores que isso o CO _2 fica como vapor.
Obs.: este procedimento é uma aproximação (assume ΔH vap quase constante entre os pontos usados), mas nos dá a ordem de grandeza correta para a pressão de saturação.

Passo 4

Estimativa de \;P_{\text{fus}}(280\\ \text{K}) (sólido–líquido) usando a equação de Clapeyron para a transição sólido↔líquido:
\frac{dP}{dT}=\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{T\,\Delta V},
onde \Delta H_{\text{fus}} é a entalpia molar de fusão e \Delta V=V_{\text{liq}}-V_{\text{sol}} o aumento de volume molar ao fundir. Vou fazer uma integração aproximada assumindo que o lado direito não varia muito com T na faixa T_{\text{trip}} a 280\\ \text{K}, então
\Delta P \approx \left(\frac{\Delta H_{\text{fus}}}{\bar{T}\,\Delta V}\right)\Delta T,
com \Delta T=280-216{,}55\approx63{,}45\\ \text{K} e \bar{T} um valor médio (uso \bar{T}\approx280\\ \text{K} para simplificar). Preciso de estimativas razoáveis para \Delta H_{\text{fus}} e \Delta V.
Valores típicos (ordem de grandeza) usados: \Delta H_{\text{fus}}\approx 8{,}0\times10^{3}\\ \text{J/mol} (valor aproximado da entalpia de fusão do CO _2); densidades aproximadas perto da fusão: \rho_{\text{sol}}\approx 1{,}6\\ \text{g·cm}^{-3}, \rho_{\text{liq}}\approx 1{,}1\\ \text{g·cm}^{-3}. Convertendo para volume molar:
V_{\text{sol}}=\frac{44\\ \text{g/mol}}{1{,}6\\ \text{g·cm}^{-3}}=27{,}5\\ \text{cm}^3\!/\text{mol}=27{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}^3\!/\text{mol},
V_{\text{liq}}=\frac{44}{1{,}1}=40{,}0\\ \text{cm}^3\!/\text{mol}=40{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^3\!/\text{mol},
\Delta V\approx (40{,}0-27{,}5)\times10^{-6}=12{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}^3\!/\text{mol}.
Agora calculo a inclinação aproximada e a variação de pressão:
\frac{dP}{dT}\approx\frac{8{,}0\times10^{3}}{280\cdot 12{,}5\times10^{-6}}\\ \text{Pa·K}^{-1} \approx 2{,}29\times10^{6}\\ \text{Pa·K}^{-1}\approx 22{,}9\\ \text{bar·K}^{-1}.
Multiplicando por \Delta T:
\Delta P\approx 22{,}9\\ (\text{bar·K}^{-1})\times63{,}45\\ \text{K}\approx 1{,}45\times10^{3}\\ \text{bar}.
Somando a pressão do ponto triplo:
P_{\text{fus}}(280)\approx P_{\text{trip}}+\Delta P\approx 5{,}185 + 1450 \approx 1455\\ \text{bar}.
Conclusão desta estimação: a pressão necessária para que CO _2 sólido seja estável a 280\\ \text{K} é da ordem de 10^{3}\\ \text{bar} (algumas centenas a alguns milhares de bar). A estimativa depende das aproximações para \Delta H_{\text{fus}} e densidades; com outras escolhas razoáveis obtém-se valores na faixa aproximadamente 1{,}5\times10^{3} a 2{,}1\times10^{3}\\ \text{bar}. O importante: é uma pressão muito alta (da ordem de milhar de bar).

Passo 5

Combino os resultados (ordens de grandeza) para dar as faixas de pressão a T=280\\ \text{K}:
  • Faixa de vapor: pressões menores que a pressão de saturação estimada \;P_{\text{sat}}\approx 42\\ \text{bar}.
  • Faixa de líquido: pressões entre \;P_{\text{sat}}\approx 42\\ \text{bar} e \;P_{\text{fus}} (pressão de fusão) da ordem de \;1{,}5\times10^{3}\\ \text{bar} (ordem de 10^{3}\\ \text{bar}).
  • Faixa de sólido: pressões maiores que \;P_{\text{fus}\!}(280), isto é, acima de cerca de \;1{,}5\times10^{3}\\ \text{bar} (algumas vezes 10^{3} bar).
Observação final e incentivo: as duas pressões calculadas são estimativas usando aproximações clássicas; a conclusão qualitativa e de ordem de grandeza é robusta: a transição vapor→líquido ocorre por volta de algumas dezenas de bar a 280\\ \text{K}, e para obter sólido a essa temperatura é preciso compressão extremamente forte (ordem de milhares de bar). Vá com calma — essa pergunta testa compreensão do diagrama de fases e do uso de Clapeyron/Clausius–Clapeyron; você mandou bem pedindo passo a passo!

Resposta

Vapor: \;P \lesssim 4{,}2\times10^{1}\\ \text{bar} (aprox. \;42\\ \text{bar}).
Líquido: \;4{,}2\times10^{1}\\ \text{bar}\\ \lesssim P \lesssim 1{,}5\times10^{3}\\ \text{bar} (aprox. 42\\ \text{bar} a \;1{,}5\times10^{3}\\ \text{bar}).
Sólido: \;P \gtrsim 1{,}5\times10^{3}\\ \text{bar} (ordem de 10^{3}\\ \text{bar}).

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