Estime as composições de destilado e de produto de fundo, considerando: coluna em refluxo total, cinco estági teóricos e vazão de destilado de
(
ponto).
Tabela 2-Composição
Componente
Fração molar
Volatilidade
A
0,4
11,5
B
0,2
6,9
C
0,4
2,3
| Componente | Fração molar | Volatilidade
|
| A | 0,4 | 11,5 |
| B | 0,2 | 6,9 |
| C | 0,4 | 2,3 |
Passo 1
O enunciado pede para “estimar as composições de destilado e de produto de fundo”, dadas as seguintes informações:
- Coluna em refluxo total (texto do enunciado).
- Número de estágios teóricos:
. - Vazão de destilado:
. - Composição da alimentação (presumo que a tabela indica a composição do alimento):
. - Volatilidades (constantes de equilíbrio) fornecidas na tabela:
Pergunta explícita: determinar as composições do destilado (vetor
) e do fundo (vetor
).
Passo 2
Primeira observação essencial (importante e que vai determinar se o problema tem solução única): com os dados fornecidos NÃO há informação suficiente para calcular unicamente todas as composições dos produtos. Vou explicar por quê, de forma didática e passo a passo — é útil para a prova e evita perder tempo tentando aplicar fórmulas sem as condições corretas.
Passo 3
Vamos listar as incógnitas e as equações disponíveis.
Incógnitas:
- Composições do destilado:
(3 incógnitas). - Composições do fundo:
(3 incógnitas).
Total de incógnitas:.
Equações/condições que sempre valem:
- Normalização do destilado:
- Normalização do fundo:
(essas duas reduzem as incógnitas efetivas para
.)
- Balanços de matéria por componente (se conhecermos a vazão de alimentação
e suposição de regime estacionário):
onde
é a vazão de destilado (dada:
) e
é a vazão de fundo desconhecida, com
. Essas são 3 equações, mas envolvem a incógnita adicional
(ou
). Com as duas normalizações mais estas três, temos no total 5 equações para 6 incógnitas — falta uma equação.
Conclusão: com apenas
conhecido, as equações de balanço e normalização não são suficientes para determinar as 6 incógnitas: falta uma condição adicional (por exemplo, a vazão de alimentação
conhecida, ou a vazão de fundo
conhecida, ou uma composição adicional fixa, ou a posição do ponto de alimentação e reflux ratio, etc.).
Passo 4
Para fechar a coluna (usar os
e o número de estágios) precisamos da relação de equilíbrio líquído-vapor em cada prato. A forma prática (assumindo comportamento ideal e definições usuais) é:
onde:
-
é a fração molar do componente na fase líquida do prato, -
é a fração molar do componente na fase vapor do prato, -
é a volatilidade (ou constante de equilíbrio) do componente .
Essa fórmula vem de escrever
e impor
; portanto é a relação que usamos pra passar de
(líquido) a
(vapor) num prato teórico.
Passo 5
A separação que uma coluna proporciona depende do número de estágios e das volatilidades. Para uma coluna operando em refluxo total existe uma equação clássica (Fenske) que relaciona as razões molares dos componentes-chave no topo e no fundo:
onde:
-
é o número de estágios teóricos (aqui ), - LK = light key (componente-chave mais volátil, aqui escolhemos
), - HK = heavy key (componente-chave menos volátil entre os desejados, aqui escolhemos
), -
.
No nosso caso:
Portanto a equação de Fenske (para 5 estágios) dá a relação
Isto é uma equação útil que liga as razões
no destilado e no fundo — mas ela NÃO fixa sozinha todos os
's. É apenas UMA equação adicional.
Passo 6
Recapitulando o sistema que precisaríamos resolver para obter todos os
:
- 3 balanços por componente (envolvem
ou ); - 2 normalizações (topo e fundo);
- 1 equação de Fenske (proveniente dos 5 estágios em refluxo total, relacionando razões
).
Total de equações disponíveis com os dados fornecidos:
.
Total de incógnitas: (os 6
's) mais possivelmente
(se não usar
). Na prática, com D conhecido, ainda resta uma incógnita livre (por exemplo
ou
ou uma composição fixa). Em termos simples: com os dados fornecidos há uma família de soluções possíveis; não existe solução única.
Total de incógnitas:
Passo 7
Para obter uma solução única você precisa de pelo menos mais UMA das informações abaixo (qualquer uma delas é suficiente para fechar o sistema):
- vazão de alimentação
conhecida (então e os 3 balanços por componente fixam os 's), - ou vazão de fundo
conhecida, - ou uma composição conhecida de um dos produtos (por exemplo, fixar
ou ), - ou posição do ponto de alimentação e reflux ratio especificados de forma que dêem uma equação extra (dependendo do método).
Se eu soubesse
(por exemplo
) eu procederia assim:
- escrever os balanços por componente com
e , - usar as normalizações (soma das frações =1),
- usar a equação de Fenske para ligar razões
, - resolver o sistema não-linear (3 equações lineares dos balanços + 2 normalizações + 1 de Fenske) para obter os 6
's. Isso geralmente dá uma solução única e seria resolvível numericamente (ou analiticamente com algum esforço).
Passo 8
- Sempre liste incógnitas e equações. Se o número de equações for menor que o de incógnitas, diga explicitamente que falta informação.
- Conhecer apenas
e e não é suficiente para achar todas as composições do topo e fundo; precisa-se também de uma vazão de alimentação (ou ) ou de uma composição fixa. - Use a equação de Fenske com os componentes-chave quando houver refluxo total e número de estágios para relacionar razões de componentes leves e pesados.
- Use a relação
quando for necessário construir as relações equilíbrio em cada prato em métodos mais detalhados.
Resposta
Não é possível determinar unicamente as composições do destilado e do fundo com os dados fornecidos; falta uma condição adicional (por exemplo a vazão de alimentação
ou a vazão de fundo
ou uma composição fixa) para fechar o sistema.