Estime as composições de destilado e de produto de fundo, considerando: coluna em refluxo total, cinco estági teóricos e vazão de destilado de 60 \mathrm{Kmol} / \mathrm{h} ( \mathbf{1 , 5} ponto).
Tabela 2-Composição
Componente Fração molar Volatilidade \left(K_{i}\right)
A 0,4 11,5
B 0,2 6,9
C 0,4 2,3

Passo 1

O enunciado pede para “estimar as composições de destilado e de produto de fundo”, dadas as seguintes informações:
  • Coluna em refluxo total (texto do enunciado).
  • Número de estágios teóricos: 5.
  • Vazão de destilado: 60\\ \mathrm{Kmol/h}.
  • Composição da alimentação (presumo que a tabela indica a composição do alimento): \;z_A=0,4,\;z_B=0,2,\;z_C=0,4.
  • Volatilidades (constantes de equilíbrio) fornecidas na tabela: \;K_A=11{,}5,\;K_B=6{,}9,\;K_C=2{,}3.
Pergunta explícita: determinar as composições do destilado (vetor (x_{D,A},x_{D,B},x_{D,C})) e do fundo (vetor (x_{B,A},x_{B,B},x_{B,C})).

Passo 2

Primeira observação essencial (importante e que vai determinar se o problema tem solução única): com os dados fornecidos NÃO há informação suficiente para calcular unicamente todas as composições dos produtos. Vou explicar por quê, de forma didática e passo a passo — é útil para a prova e evita perder tempo tentando aplicar fórmulas sem as condições corretas.

Passo 3

Vamos listar as incógnitas e as equações disponíveis.
Incógnitas:
  • Composições do destilado: \;x_{D,A},\;x_{D,B},\;x_{D,C} (3 incógnitas).
  • Composições do fundo: \;x_{B,A},\;x_{B,B},\;x_{B,C} (3 incógnitas).
    Total de incógnitas: 6.
Equações/condições que sempre valem:
  1. Normalização do destilado:
x_{D,A}+x_{D,B}+x_{D,C}=1.
  1. Normalização do fundo:
x_{B,A}+x_{B,B}+x_{B,C}=1.
(essas duas reduzem as incógnitas efetivas para 4.)
  1. Balanços de matéria por componente (se conhecermos a vazão de alimentação F e suposição de regime estacionário):
F z_i = D x_{D,i} + B x_{B,i},\qquad i=A,B,C,
onde D é a vazão de destilado (dada: D=60\\ \mathrm{Kmol/h}) e B é a vazão de fundo desconhecida, com F=D+B. Essas são 3 equações, mas envolvem a incógnita adicional B (ou F). Com as duas normalizações mais estas três, temos no total 5 equações para 6 incógnitas — falta uma equação.
Conclusão: com apenas D conhecido, as equações de balanço e normalização não são suficientes para determinar as 6 incógnitas: falta uma condição adicional (por exemplo, a vazão de alimentação F conhecida, ou a vazão de fundo B conhecida, ou uma composição adicional fixa, ou a posição do ponto de alimentação e reflux ratio, etc.).

Passo 4

Para fechar a coluna (usar os K_i e o número de estágios) precisamos da relação de equilíbrio líquído-vapor em cada prato. A forma prática (assumindo comportamento ideal e definições usuais) é:
y_i = \frac{K_i\,x_i}{\sum_{j} K_j\,x_j},
onde:
  • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida do prato,
  • y_i é a fração molar do componente i na fase vapor do prato,
  • K_i é a volatilidade (ou constante de equilíbrio) do componente i.
Essa fórmula vem de escrever y_i = K_i x_i e impor \sum_i y_i = 1; portanto é a relação que usamos pra passar de x (líquido) a y (vapor) num prato teórico.

Passo 5

A separação que uma coluna proporciona depende do número de estágios e das volatilidades. Para uma coluna operando em refluxo total existe uma equação clássica (Fenske) que relaciona as razões molares dos componentes-chave no topo e no fundo:
\frac{\displaystyle\frac{x_{D,\text{LK}}}{x_{D,\text{HK}}}}{\displaystyle\frac{x_{B,\text{LK}}}{x_{B,\text{HK}}}} = \big(\alpha_{\text{LK,HK}}\big)^N,
onde:
  • N é o número de estágios teóricos (aqui N=5),
  • LK = light key (componente-chave mais volátil, aqui escolhemos A),
  • HK = heavy key (componente-chave menos volátil entre os desejados, aqui escolhemos C),
  • \alpha_{\text{LK,HK}} = \dfrac{K_{LK}}{K_{HK}} = \dfrac{K_A}{K_C}.
No nosso caso:
\alpha_{A,C} = \frac{K_A}{K_C} = \frac{11{,}5}{2{,}3}=5{,}0.
Portanto a equação de Fenske (para 5 estágios) dá a relação
\frac{(x_{D,A}/x_{D,C})}{(x_{B,A}/x_{B,C})} = 5{,}0^{\,5}.
Isto é uma equação útil que liga as razões A/C no destilado e no fundo — mas ela NÃO fixa sozinha todos os x's. É apenas UMA equação adicional.

Passo 6

Recapitulando o sistema que precisaríamos resolver para obter todos os x:
  • 3 balanços por componente (envolvem B ou F);
  • 2 normalizações (topo e fundo);
  • 1 equação de Fenske (proveniente dos 5 estágios em refluxo total, relacionando razões A/C).
Total de equações disponíveis com os dados fornecidos: 6.
Total de incógnitas: 6 (os 6 x's) mais possivelmente B (se não usar F). Na prática, com D conhecido, ainda resta uma incógnita livre (por exemplo B ou F ou uma composição fixa). Em termos simples: com os dados fornecidos há uma família de soluções possíveis; não existe solução única.

Passo 7

Para obter uma solução única você precisa de pelo menos mais UMA das informações abaixo (qualquer uma delas é suficiente para fechar o sistema):
  • vazão de alimentação F conhecida (então B=F-D e os 3 balanços por componente fixam os x's),
  • ou vazão de fundo B conhecida,
  • ou uma composição conhecida de um dos produtos (por exemplo, fixar x_{D,A} ou x_{B,C}),
  • ou posição do ponto de alimentação e reflux ratio especificados de forma que dêem uma equação extra (dependendo do método).
Se eu soubesse F (por exemplo F=100\\ \mathrm{Kmol/h}) eu procederia assim:
  1. escrever os balanços por componente com D=60 e B=F-D,
  2. usar as normalizações (soma das frações =1),
  3. usar a equação de Fenske para ligar razões A/C,
  4. resolver o sistema não-linear (3 equações lineares dos balanços + 2 normalizações + 1 de Fenske) para obter os 6 x's. Isso geralmente dá uma solução única e seria resolvível numericamente (ou analiticamente com algum esforço).

Passo 8

  • Sempre liste incógnitas e equações. Se o número de equações for menor que o de incógnitas, diga explicitamente que falta informação.
  • Conhecer apenas D e N e K_i não é suficiente para achar todas as composições do topo e fundo; precisa-se também de uma vazão de alimentação F (ou B) ou de uma composição fixa.
  • Use a equação de Fenske com os componentes-chave quando houver refluxo total e número de estágios para relacionar razões de componentes leves e pesados.
  • Use a relação y_i=\dfrac{K_i x_i}{\sum_j K_j x_j} quando for necessário construir as relações equilíbrio em cada prato em métodos mais detalhados.

Resposta

Não é possível determinar unicamente as composições do destilado e do fundo com os dados fornecidos; falta uma condição adicional (por exemplo a vazão de alimentação F ou a vazão de fundo B ou uma composição fixa) para fechar o sistema.

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