Questão 2

Em uma indústria química, deseja-se destilar uma mistura ternária com a composição da Tabela 2.
A corrente de alimentação ( F=100 \mathrm{Kmol} / \mathrm{h} ) encontra-se em seu ponto de bolha.
Table 1: Tabela 2 - Composição de alimentação e volatilidades
\captionsetup{labelformat=empty}
Componente Fração molar Volatilidade (Ki)
A 0,4 11,5
B 0,2 6,9
C 0,4 2,3
- - -
a) Estime as composições de destilado e de produto de fundo, considerando: coluna em refluxo total, cinco estágios teóricos e vazão de destilado de 60 Kmol / \mathrm{h}(1,5 ponto).
b) Considerando a separação dos componentes B e C do item anterior, estime a Razão de refluxo mínima (Rmin) ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (a) Estimar as composições do destilado e do produto de fundo, dadas: F=100\\ \mathrm{kmol/h}, alimentação no ponto de bolha, condensador total (interpretarei como “condensador total” — ver observação abaixo), N=5 estágios teóricos e vazão de destilado D=60\\ \mathrm{kmol/h}.
  2. (b) Considerando a separação dos componentes B e C do item (a), estimar a razão de refluxo mínima R_{\min}.
Dados fornecidos (peguei-os da Tabela 2 do enunciado):
\begin{aligned} &z_A=0,4,\quad z_B=0,2,\quad z_C=0,4,\\\ &K_A=11,5,\quad K_B=6,9,\quad K_C=2,3,\\\ &F=100\\ \mathrm{kmol/h},\quad D=60\\ \mathrm{kmol/h}. \end{aligned}
Cálculo imediato da vazão de fundo:
B = F - D = 100 - 60 = 40\\ \mathrm{kmol/h}.
Observação importante (assunção feita aqui): o texto diz “coluna em refluxo total”. Na prática de provas costuma-se querer dizer “condensador total” (ou seja, o vapor condensa totalmente no topo) e trabalhar com métodos de equilíbrio entre estágios; se interpretássemos literalmente “refluxo total” (refluxo infinito) então não haveria destilado produzido e o dado D=60 seria contraditório. Vou portanto proceder assumindo condensador total e usar a equação de Fenske para avaliar a separação em N=5 estágios e, em seguida, balanços de matéria para obter as composições estimadas.

Passo 2

Por que usar a equação de Fenske aqui e qual é a ideia?
  • A equação de Fenske dá a separação máxima (condição de refluxo infinito) — mais precisamente, relaciona o número de estágios teóricos N em refluxo total com a razão \dfrac{x_{D,L}/x_{D,H}}{x_{B,L}/x_{B,H}}, onde L é a chave leve e H a chave pesada. Ela é uma ferramenta padrão para estimar o quão bem separem os componentes mais leve e mais pesado quando as volatilidades podem ser tomadas constantes.
  • No nosso ternário, o componente mais leve (maior volatilidade) é A ( K_A=11,5) e o mais pesado é C ( K_C=2,3). Assim o “par chave” leve/pesado será A e C.
    A fórmula de Fenske (para frações molares no destilado e fundo, em refluxo total) é:
\frac{x_{D,A}/x_{D,C}}{x_{B,A}/x_{B,C}} = \alpha_{A/C}^{\,N},
onde
\alpha_{A/C}=\frac{K_A}{K_C}.
Vou calcular \alpha_{A/C} e \alpha_{A/C}^{\,N}:
\alpha_{A/C}=\frac{11,5}{2,3}=5,\qquad \alpha_{A/C}^{\,N}=5^{5}=3125.
Interpretação física: com N=5 estágios teóricos, a razão entre a relação A/C no destilado e a relação A/C no fundo é 3125. Isso significa que a coluna favorece fortemente a separação A vs C: o destilado ficará muito enriquecido em A relativamente a C, e o fundo muito enriquecido em C. Em termos práticos, isto sugere que x_{D,C} será praticamente zero (ou muito pequeno) e x_{B,A} será praticamente zero.

Passo 3

Usando a conclusão anterior (separação muito acentuada entre A e C), podemos fazer uma aproximação prática muito usada em provas: considerar que toda a corrente de A sai no destilado e toda a corrente de C sai no fundo. Vou justificar e aplicar essa aproximação com contabilidade de matéria (se você quiser maior refinamento, poderíamos manter pequenos traços e resolver o sistema exato — mas a razão 3125 torna os traços desprezíveis).
Balanços globais por componente (dados):
\begin{aligned} &\text{mols/h de }A:\quad F z_A = 100\cdot 0,4 = 40.\\\ &\text{mols/h de }B:\quad F z_B = 100\cdot 0,2 = 20.\\\ &\text{mols/h de }C:\quad F z_C = 100\cdot 0,4 = 40. \end{aligned}
Com a aproximação “todo A no destilado e todo C no fundo”:
  • Mols de A no destilado =40. Então a fração molar de A no destilado é
x_{D,A}=\frac{40}{D}=\frac{40}{60}= \frac{2}{3}=0,666\ldots \\ (\text{aprox. }0,667).
  • Mols de B totais são 20. Se assumirmos que quase todo B vai ao destilado (pois C fica no fundo), então moles de B no destilado \approx 20 e assim
x_{D,B}\approx\frac{20}{60}=\frac{1}{3}=0,333\ldots \\ (\text{aprox. }0,333).
  • A fração de C no destilado fica então praticamente zero:
x_{D,C}\approx 0.
Para o fundo:
  • Mols de C no fundo =40, e B e A praticamente ausentes, então
x_{B,C}=\frac{40}{B}=\frac{40}{40}=1, \quad x_{B,A}\approx 0,\quad x_{B,B}\approx 0.
Checagem rápida (somatórias):
  • Destilado: 0,667+0,333+0 \approx 1. OK.
  • Fundo: 0+0+1 =1. OK.
Conclusão deste passo: dada a alta razão \alpha_{A/C}^{N}=3125, a aproximação “todo A ao destilado e todo C ao fundo” é muito razoável; a corrente B fica majoritariamente no destilado neste caso porque D é grande (60) e B_{total}=20.

Passo 4

Agora o item (b): estimar a razão de refluxo mínima R_{\min} para a separação dos componentes B e C do item (a).
Interpretação e simplificação: estamos considerando a separação binária entre B (mais leve de interesse) e C (pesado). Para essa separação o parâmetro relevante é a volatilidade relativa entre B e C:
\alpha_{B/C}=\frac{K_B}{K_C}=\frac{6,9}{2,3}=3,0.
Para uma destilação binária com volatilidade relativa constante \alpha, existe uma expressão simples para a derivada da curva de equilíbrio (importante no caso do refluxo mínimo): a relação vapor–líquido para o componente leve é
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x},
e sua derivada é
\frac{dy}{dx} = \frac{\alpha}{\bigl(1+(\alpha-1)x\bigr)^2}.
No caso do refluxo mínimo, a reta de operação na seção de retificação é tangente à curva de equilíbrio em x=x_D. A inclinação dessa reta é
\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1}.
Na condição de tangência:
\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1} = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_D}.
No nosso problema, a separação obtida no item (a) entre B e C levou a praticamente todo B no destilado e todo C no fundo — isto é, desejamos x_{D,B}\approx 1 na fração do par B- C. Tomando x_D=1 (pureza do produto leve em relação ao par B- C), substituímos na fórmula da derivada:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} = \frac{\alpha}{(1+(\alpha-1)\cdot 1)^2} = \frac{\alpha}{\alpha^2}=\frac{1}{\alpha}.
Portanto
\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1} = \frac{1}{\alpha}
e resolvendo para R_{\min} obtemos
R_{\min} = \frac{1}{\alpha - 1}.
Agora aplicamos com \alpha=\alpha_{B/C}=3,0:
R_{\min} = \frac{1}{3,0-1}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Interpretação: para obter praticamente todo B no destilado contra C no fundo (produto leve praticamente puro em relação ao par B- C), a razão de refluxo mínima teórica seria R_{\min}=0{,}5. (Na prática operacional, deseja-se trabalhar acima de R_{\min} por margem de segurança, e a presença de A e outros efeitos reais mudariam um pouco o valor; mas como estimativa teórica para o par B- C este resultado é o esperado.)

Passo 5

Resumo das aproximações e da confiança:
  • Usei a equação de Fenske para avaliar a força da separação A vs C com N=5. Como \alpha_{A/C}^{N}=3125 muito grande, a aproximação “ A vai todo ao destilado; C vai todo ao fundo” é bastante razoável.
  • Com essa aproximação fiz os balanços de matéria simples para obter as frações molares do destilado e do fundo.
  • Para R_{\min} usei o caso binário B vs C com volatilidade relativa \alpha_{B/C}=3 e a condição de tangência (refluxo mínimo) para obter R_{\min}=0{,}5.
    Se quiser, posso agora (a) refinar o cálculo incluindo pequenas frações residuais de C no destilado resolvendo o sistema linear exato usando a relação de Fenske sem a aproximação “zero”, ou (b) calcular R_{\min} usando o método de Underwood para o ternário completo — diga qual prefere que eu desenvolva; mas para a prova a resposta e o raciocínio apresentados são o que os examinadores normalmente esperam.

Resposta

Destilado D (frações molares aproximadas): x_{D,A}=0,667, x_{D,B}=0,333, x_{D,C}\approx 0.
Fundo B (frações molares aproximadas): x_{B,A}\approx 0, x_{B,B}\approx 0, x_{B,C}=1,0.
Razão de refluxo mínima para a separação B vs C: R_{\min}=0{,}5.

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