(0,25) Uma corrente de nitrogênio, escoando a uma vazão de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, e uma corrente de hidrogênio, escoando a uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, misturam-se adiabaticamente em um processo contínuo (de escoamento) em regime estacionário. Se os gases forem considerados ideais, qual será a taxa de aumento da entropia resultante do processo?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • Uma corrente de nitrogênio com vazão mássica \dot m_{N_2}=2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Uma corrente de hidrogênio com vazão mássica \dot m_{H_2}=0,5\\ \mathrm{kg/s}.
  • As correntes se misturam adiabaticamente, em regime estacionário (processo contínuo).
  • Os gases são ideais.
O que é pedido:
  • A taxa de aumento da entropia (ou seja, a taxa de geração de entropia) do processo, \dot S_{\mathrm{gen}}.
Observação (assunção necessária e habitual neste tipo de exercício): assumir que as correntes entram à mesma temperatura e pressão antes da mistura. Com essa hipótese a contribuição de entropia por transferência de calor é nula (adiabático) e a única variação de entropia no balanço é a debida à mistura irreversível dos gases ideais.

Passo 2

Esquema físico e balanço de entropia (ideia central).
  • Para um processo estacionário de mistura sem reações químicas, o balanço de entropia dá
\sum_{\text{entradas}}\dot n_i \bar s_i + \dot S_{\mathrm{gen}} = \dot n_{\text{tot}} \bar s_{\text{mix}},
onde \dot n_i são vazões molares das correntes de entrada, \bar s_i entropia molar de cada corrente pura na entrada, \bar s_{\text{mix}} entropia molar da mistura na saída e \dot n_{\text{tot}}=\sum\dot n_i.
  • Para gases ideais, a entropia molar da mistura (à mesma temperatura) relaciona-se com as entropias molares das correntes puras por
\bar s_{\text{mix}}=\sum_i y_i \bar s_i - R\sum_i y_i \ln y_i,
onde y_i são as frações molares na mistura e R é a constante universal dos gases.
  • Substituindo essa expressão no balanço, os termos \sum \dot n_i \bar s_i cancelam quando as correntes têm a mesma T, sobrando a geração de entropia dada por
\dot S_{\mathrm{gen}}=\dot n_{\text{tot}}\;(-R\sum_i y_i \ln y_i).
Portanto a taxa de geração de entropia depende apenas das vazões molares e das frações molares da mistura; não depende da temperatura (desde que as entradas tenham a mesma T).

Passo 3

Converter vazões mássicas em vazões molares e calcular frações molares.
  • Massas molares (valores usuais, em \mathrm{kg/kmol}):
    • \;M_{N_2}=28\\ \mathrm{kg/kmol}
    • \;M_{H_2}=2\\ \mathrm{kg/kmol}
  • Vazões molares (em \mathrm{kmol/s}):
\dot n_{N_2}=\frac{\dot m_{N_2}}{M_{N_2}}=\frac{2}{28}=\frac{1}{14}\\ \mathrm{kmol/s}\approx0,0714286\\ \mathrm{kmol/s},
\dot n_{H_2}=\frac{\dot m_{H_2}}{M_{H_2}}=\frac{0,5}{2}=\frac{1}{4}=0,25\\ \mathrm{kmol/s}.
  • Vazão molar total:
\dot n_{\text{tot}}=\dot n_{N_2}+\dot n_{H_2}=\frac{1}{14}+\frac{1}{4}=\frac{9}{28}\\ \mathrm{kmol/s}\approx0,3214286\\ \mathrm{kmol/s}.
  • Frações molares na mistura:
y_{N_2}=\frac{\dot n_{N_2}}{\dot n_{\text{tot}}}=\frac{1/14}{9/28}=\frac{2}{9}\approx0,222222,
y_{H_2}=\frac{\dot n_{H_2}}{\dot n_{\text{tot}}}=\frac{1/4}{9/28}=\frac{7}{9}\approx0,777778.

Passo 4

Calcular o termo -\sum_i y_i \ln y_i (entropia molar de mistura por kmol, em unidades de \mathrm{J/(kmol\cdot K)} quando multiplicado por R).
  • Compute:
-\sum_i y_i \ln y_i = -\left(\frac{2}{9}\ln\frac{2}{9}+\frac{7}{9}\ln\frac{7}{9}\right).
Avaliação numérica:
\ln\frac{2}{9}\approx -1,504077,\qquad \ln\frac{7}{9}\approx -0,251315,
-\sum_i y_i \ln y_i = -\Big(\frac{2}{9}(-1,504077)+\frac{7}{9}(-0,251315)\Big) = \frac{1}{9}\big(2\cdot1,504077+7\cdot0,251315\big)\approx0,529707.

Passo 5

Calcular \dot S_{\mathrm{gen}} usando R e \dot n_{\text{tot}}.
  • Constante universal dos gases (em unidades compatíveis com \mathrm{kmol}): \;R=8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}=8314\\ \mathrm{J/(kmol\cdot K)}.
  • Então
\dot S_{\mathrm{gen}}=\dot n_{\text{tot}}\;R\;\Big(-\sum_i y_i \ln y_i\Big).
Substituindo os números:
\dot S_{\mathrm{gen}}=\frac{9}{28}\times 8314\times 0,529707\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.
Avaliação numérica:
\dot S_{\mathrm{gen}}\approx 0,3214286\times 8314\times 0,529707\approx 1\,416\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}.

Resposta

\dot S_{\mathrm{gen}} \approx 1{,}42\times10^{3}\\ \mathrm{J/(K\cdot s)}

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