(0,25) Qual é a variação na entropia quando 0,7 \mathrm{~m}^{3} de \mathrm{CO}_{2} e 0,3 \mathrm{~m}^{3} de \mathrm{N}_{2}, ambos a 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C}, misturam-se para formar uma mistura gasosa nas mesmas condições? Considere gases ideais.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pego do enunciado):
    • Volume de \mathrm{CO_2}: V_{\mathrm{CO_2}}=0,7\\ \mathrm{m^3}.
    • Volume de \mathrm{N_2}: V_{\mathrm{N_2}}=0,3\\ \mathrm{m^3}.
    • Pressão: P=1\\ \text{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Gases ideais.
  • Pedido: calcular a variação de entropia quando as duas porções se misturam para formar uma mistura gasosa nas mesmas condições P e T.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas).
  • Ideia física: a mistura de gases ideais a mesma temperatura e pressão causa um aumento de entropia (mistura irreversível). Para gases ideais, pode-se calcular \Delta S_{\text{mix}} supondo um caminho reversível equivalente: cada componente sofre uma expansão isoterma reversível desde o seu volume inicial até o volume final total V.
  • Fórmula resultante (derivação curta): para cada gás ideal, a variação de entropia ao expandir reversivelmente de V_i para V é \Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V}{V_i}\right). Somando para todos os componentes: \Delta S_{\text{mix}}=\sum_i n_i R \ln\!\left(\frac{V}{V_i}\right).Usando y_i=\dfrac{V_i}{V} (fração volumétrica = fração molar, porque n_i\propto V_i à mesma P,T) obtemos a forma padrão \Delta S_{\text{mix}} = -R\sum_i n_i \ln y_i.
  • Explicando as letras:
    • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
    • n_i é o número de mols do componente i.
    • y_i é a fração molar do componente i na mistura final.
    • \Delta S_{\text{mix}} tem unidade \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 3

Determinar n_i e as frações molares y_i.
  • Primeiro: como ambos os gases estão à mesma P e T, pela equação dos gases ideais n=\dfrac{PV}{RT}. Então os números de mols são proporcionais aos volumes. Assim basta usar as frações volumétricas: V_{\text{total}}=V_{\mathrm{CO_2}}+V_{\mathrm{N_2}}=0{,}7+0{,}3=1{,}0\\ \mathrm{m^3}.
y_{\mathrm{CO_2}}=\dfrac{V_{\mathrm{CO_2}}}{V_{\text{total}}}=\dfrac{0{,}7}{1{,}0}=0{,}7, \qquad y_{\mathrm{N_2}}=\dfrac{0{,}3}{1{,}0}=0{,}3.
  • Calcular o número total de mols para usar na expressão (opcional, mas útil): n_{\text{total}}=\dfrac{P V_{\text{total}}}{R T} =\dfrac{1{,}0\times10^{5}\times1{,}0}{8{,}314462618\times298{,}15} \approx 40{,}330841\\ \mathrm{mol}.
  • Então n_{\mathrm{CO_2}}=y_{\mathrm{CO_2}}\,n_{\text{total}}=0{,}7\times40{,}330841\approx28{,}231589\\ \mathrm{mol} e
    n_{\mathrm{N_2}}=0{,}3\times40{,}330841\approx12{,}099252\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia da mistura com a fórmula.
  • Usamos \Delta S_{\text{mix}} = -R\bigl(n_{\mathrm{CO_2}}\ln y_{\mathrm{CO_2}} + n_{\mathrm{N_2}}\ln y_{\mathrm{N_2}}\bigr).
  • Substituindo números: \ln(0{,}7)\approx -0{,}35667494,\qquad \ln(0{,}3)\approx -1{,}2039728.
n_{\mathrm{CO_2}}\ln y_{\mathrm{CO_2}}\approx 28{,}231589\times(-0{,}35667494) \approx -10{,}073624,
n_{\mathrm{N_2}}\ln y_{\mathrm{N_2}}\approx 12{,}099252\times(-1{,}2039728) \approx -14{,}554463.
Soma:
n_{\mathrm{CO_2}}\ln y_{\mathrm{CO_2}} + n_{\mathrm{N_2}}\ln y_{\mathrm{N_2}} \approx -24{,}628087.
  • Portanto \Delta S_{\text{mix}} = -8{,}314462618\times(-24{,}628087)\\ \mathrm{J\,K^{-1}} \approx 204{,}79\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Alternativamente, usando a forma com n_{\text{total}} e as frações molares: \Delta S_{\text{mix}} = -R n_{\text{total}}\bigl(y_{\mathrm{CO_2}}\ln y_{\mathrm{CO_2}} + y_{\mathrm{N_2}}\ln y_{\mathrm{N_2}}\bigr),que dá o mesmo valor numérico. Note que o resultado é positivo, como esperado para mistura espontânea.

Passo 5

Interpretação rápida e verificação de consistência.
  • O sinal positivo indica aumento de entropia devido à mistura (mais estados acessíveis).
  • A ordem de grandeza (cerca de 2\times10^{2}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}) é razoável dado que há \sim40 mols de gás; a entropia de mistura por mol total fica em torno de \dfrac{204{,}8}{40{,}33}\approx5{,}08\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, compatível com -R\sum y_i\ln y_i.

Resposta

\Delta S_{\text{mix}} \approx 204,8\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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