5.26 Um ciclo de potência opera entre um reservatório à temperatura T e um reservatório de temperatura mais baixa a 280 K . Em regime permanente, o ciclo desenvolve 40 kW de potência enquanto rejeita 1000 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min} de energia por transferência de calor para o reservatório frio. Determine o valor de mínimo teórico para T, em K.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de potência em regime permanente que opera entre um reservatório quente à temperatura T e um reservatório frio a 280\:\text{K}. O ciclo entrega potência de 40\:\text{kW} e rejeita 1000\:\text{kJ/min} ao reservatório frio. Vamos usar a primeira lei da termodinâmica para motores e a eficiência máxima de Carnot para determinar o mínimo teórico de T.

Passo 2

Converter a taxa de calor rejeitada Q_c em unidades de potência ( \text{kW}):
Q_c = \frac{1000\:\text{kJ}}{1\:\text{min}} = \frac{1000\:\text{kJ}}{60\:\text{s}} = 16{,}667\:\text{kW}.

Passo 3

Pela conservação de energia (primeira lei), a potência absorvida do reservatório quente é
Q_h = W + Q_c = 40\:\text{kW} + 16{,}667\:\text{kW} = 56{,}667\:\text{kW}.

Passo 4

A eficiência real do ciclo é
\eta = \frac{W}{Q_h}.
O valor máximo teórico (Carnot) entre temperaturas T e T_c=280\:\text{K} é
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T}.
Para obter o mínimo teórico de T, igualamos
\frac{W}{Q_h} \;=\; 1 - \frac{T_c}{T}.

Passo 5

Isolando T:
1 - \frac{T_c}{T} = \frac{W}{Q_h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_c}{T} = 1 - \frac{W}{Q_h} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{T_c}{1 - \dfrac{W}{Q_h}}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos:
1 - \frac{W}{Q_h} = 1 - \frac{40}{56{,}667} = \frac{16{,}667}{56{,}667}\approx 0{,}2941,
T = \frac{280}{0{,}2941}\approx 952\:\text{K}.

Resposta

O valor mínimo teórico para T é aproximadamente 952\:\text{K}.

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