Extra: Uma bomba de calor deve ser usada para aquecer uma casa no inverno e então convertida para esfriar a casa no verão. A temperatura interna deve ficar
em 21^{\circ} \mathrm{C}. A transferência de calor através das paredes e teto é estimada em 170 \mathrm{kcal} / \mathrm{K} de diferença entre a temperatura interna e externa.
a) Se a temperatura externa for 5^{\circ} \mathrm{C} qual a potência mínima para acionar a bomba de calor?
b) Usando o mesmo ciclo para refrigeração e se a potência fornecida for a mesma, qual a máxima temperatura externa para a qual o interior pode ser mantido a 21⿰㇒ { }^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado trata de manter o interior de uma casa a \,21^\circ\mathrm C usando uma bomba de calor reversível cujo coeficiente de desempenho (COP) é ideal. A transmissão de calor pelas paredes e teto pode ser modelada como
\dot Q = U\,(T_{\rm int}-T_{\rm ext}),
com U=170 (unidade de potência por diferença de temperatura) e temperaturas em kelvin. No inverno (parte a) T_{\rm ext}=5^\circ\mathrm C. Queremos a potência mínima W a ser fornecida à bomba, sabendo que para aquecimento o COP é
\mathrm{COP}_{\rm aquecimento} =\frac{T_{\rm quente}}{T_{\rm quente}-T_{\rm frio}}
em escala absoluta.

Passo 2

Transformamos temperaturas para kelvin:
T_{\rm int}=21+273=294\\ \mathrm K,\qquad T_{\rm ext}=5+273=278\\ \mathrm K.
A diferença é
\Delta T=T_{\rm int}-T_{\rm ext}=294-278=16\\ \mathrm K.
O COP de aquecimento ideal é
\mathrm{COP}_{\rm aq} =\frac{T_{\rm int}}{T_{\rm int}-T_{\rm ext}} =\frac{294}{16}\approx18,375.

Passo 3

A potência de calor vazando pelas paredes é
\dot Q =U\,\Delta T =170\cdot16 =2720\\ (\text{mesma unidade de }W).
Para manter o equilíbrio, a bomba de calor deve entregar esse fluxo mais o trabalho W. Em regime estacionário o trabalho satisfaçe
W=\frac{\dot Q}{\mathrm{COP}_{\rm aq}} =\frac{2720}{18,375}\approx148\\ \mathrm W.

Passo 4

No verão usamos o mesmo ciclo em modo refrigeração. Agora o interior ( T_{\rm int}=294\\ \mathrm K) é o foco frio e o exterior T_{\rm ext} é o foco quente. O COP de refrigeração ideal é
\mathrm{COP}_{\rm ref} =\frac{T_{\rm frio}}{T_{\rm quente}-T_{\rm frio}} =\frac{294}{T_{\rm ext}-294}.
O vazamento de calor para dentro é
\dot Q_{\rm in} =U\,(T_{\rm ext}-T_{\rm int}) =170\,(T_{\rm ext}-21).
Impondo que o trabalho W seja o mesmo de antes ( 148\\ \mathrm W), vale
W=\frac{\dot Q_{\rm in}}{\mathrm{COP}_{\rm ref}} \;\Longrightarrow\; 148 =\frac{170\,(T_{\rm ext}-21)}{\,294/(\,T_{\rm ext}-294)\,} =\frac{170\,(T_{\rm ext}-21)\,(T_{\rm ext}-294)}{294}.
Note que T_{\rm ext}-21=T_{\rm ext}-294 em kelvin, logo definindo \Delta T=T_{\rm ext}-21 obtemos
148=\frac{170\,\Delta T^2}{294} \quad\Longrightarrow\quad \Delta T^2 =\frac{148\cdot294}{170}\approx256 \quad\Longrightarrow\quad \Delta T\approx16\\ \mathrm K.
Assim
T_{\rm ext,\max}=21^\circ\mathrm C+16^\circ\mathrm C=37^\circ\mathrm C.

Resposta

a) W_{\min}\approx148\\ \mathrm W.
b) T_{\rm ext,\max}\approx37^\circ\mathrm C.

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