5.57 Através do fornecimento de energia a uma taxa média de 21.100 \mathrm{~kJ} / h, uma bomba de calor mantém a temperatura de uma residência em 21^{\prime} \mathrm{C}. Se a eletricidade custa 8 centavos por kW * h, determine o custo de operação mínimo teórico por dia de operação se a boma de calor receber energia por transferência de calor
Da água de um poço a 8{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que uma bomba de calor fornece calor à casa à razão média de 21\,100 kJ/h, mantendo a temperatura interna em 21^\circ\mathrm{C}. A fonte fria é água de poço a 8^\circ\mathrm{C} e a eletricidade custa 0{,}08 (unidade monetária) por k W\cdot h. Vamos calcular o custo mínimo teórico por dia usando o coeficiente de desempenho de Carnot para bomba de calor.

Passo 2

Convertendo as temperaturas para Kelvin, temos
T_H = 21^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 294{,}15\\ \mathrm{K},
T_C = 8^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 281{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

O coeficiente de desempenho máximo (Carnot) de uma bomba de calor é
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_H}{T_H - T_C} = \frac{294{,}15}{294{,}15 - 281{,}15} = \frac{294{,}15}{13} \approx 22{,}62.

Passo 4

A potência de calor fornecida é
\dot Q_H = 21\,100\\ \text{kJ/h} = \frac{21\,100}{3\,600}\\ \text{kW} \approx 5{,}86\\ \text{kW}.
Logo, a potência elétrica mínima de entrada é
\dot W = \frac{\dot Q_H}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}} = \frac{5{,}86}{22{,}62} \approx 0{,}259\\ \text{kW}.

Passo 5

Em 1 h, a energia elétrica consumida é 0{,}259 k W\cdot h. Em 24 h,
E_{\text{dia}} = 0{,}259\times 24 \approx 6{,}22\\ \text{kW\cdoth}.

Passo 6

Multiplicando pelo custo por k W\cdot h, obtemos
\text{Custo}_{\text{dia}} = 6{,}22\\ \text{kW\cdoth}\times 0{,}08\\ \frac{\text{R\$}}{\text{kW\cdoth}} \approx 0{,}498\\ \text{R\$}.

Resposta

O custo de operação mínimo teórico é aproximadamente 0{,}50 (unidade monetária) por dia.

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