2.26 Considere uma solução coloidal, M=150 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}, num campo gravitacional a 300 K . Se a concentração do colóide é 0,00080 \mathrm{~mol} / \mathrm{l} no topo da solução e 0,0010 \mathrm{~mol} / \mathrm{l} no fundo,
a) Qual a profundidade da solução?
b) Calcule a concentração média do colóide nos 0,10 \mathrm{~m} mais baixos da solução.
c) Calcule o número de moles nos \mathbf{0 , 1 0} \mathrm{m} mais baixos da solução, se a área da seção reta do recipiente é 20 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado trata da variação da concentração de um coloide sob ação da gravidade, à temperatura T=300 K, com massa molar M=150 kg/mol. Em equilíbrio barométrico, a concentração varia segundo
c(z)=c(0)\,\exp\!\bigl(\tfrac{M g z}{R T}\bigr),
onde g=9{,}8 m/ s^{2} e R=8{,}314 J/(mol K). Sabemos que em z=0 (topo)
c(0)=0,00080\\ \mathrm{mol/L},
e em z=H (fundo)
c(H)=0,0010\\ \mathrm{mol/L}.
Precisamos achar:
a) a profundidade H,
b) a concentração média nos 0,10 m mais baixos,
c) o número de moles nesses 0,10 m, dada a área de seção reta A=20 c m^{2}.

Passo 2

Para (a), usamos a razão
\frac{c(H)}{c(0)}=\exp\!\Bigl(\frac{M g H}{R T}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad H=\frac{R T}{M g}\,\ln\!\Bigl(\frac{c(H)}{c(0)}\Bigr).
Substituindo:
\frac{c(H)}{c(0)}=\frac{0,0010}{0,00080}=1,25, \qquad \ln(1,25)=0,2231,
H=\frac{8{,}314\times300}{150\times9{,}8}\times0,2231 \approx0,38\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Para (b), a concentração média nos 0,10 m mais baixos (de z=H-0,10 a z=H) é
\bar c =\frac{1}{0,10}\int_{H-0,10}^{H}c(0)\,\exp\!\bigl(\tfrac{M g z}{R T}\bigr)\,dz =\frac{c(0)}{a\,0,10}\bigl[e^{aH}-e^{a(H-0,10)}\bigr],
onde a=M g/(R T)=\ln(1,25)/H\approx0,589 m^{-}¹. Então
e^{aH}=1,25,\quad e^{a(H-0,10)}=e^{0,589\,(H-0,10)}\approx1,1784,
\bar c =\frac{0,00080}{0,589\times0,10}(1,25-1,1784) \approx9,73\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Para (c), primeiro obtemos o volume dos 0,10 m mais baixos:
A=20\\ \mathrm{cm}^2=20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=0,002\\ \mathrm{m}^2, \quad V=A\times0,10=0,0002\\ \mathrm{m}^3=0,2\\ \mathrm{L}.
Logo o número de moles é
n=\bar c\times V =9,73\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}\times0,2\\ \mathrm{L} \approx1,95\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.

Resposta

a) H\approx0,38\\ \mathrm{m}.
b) \bar c\approx9,73\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/L}.
c) n\approx1,95\times10^{-4}\\ \mathrm{mol}.

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