2.29 Um baläo tendo a capacidade 10.000 \mathrm{~m}^{3} é preenchido com hélio a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm de pressäo. Se o balĩo é carregado com 80 \% da carga que ele pode deslocar ao nível do solo, a que altura o ballão atingirá o equilíbrio? Admita que o volume do balfo é constante, a atmosfera isotérmica a 20^{\circ} \mathrm{C}, a massa molar đo aré de 28,9 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e a pressióo a nível do solo é 1 atm . A massa do balão é 1,3 \times 10^{4} \mathrm{~g}.

Passo 1

O enunciado descreve um balão de volume constante V=10{,}000\\ \mathrm{m}^3 que, no nível do mar P_0=1\\ \mathrm{atm}, T=20\\ ^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm K, é preenchido com hélio e carrega uma “carga” igual a 80\% da sua capacidade de elevação máxima ao nível do mar. A massa do invólucro do balão é m_{\mathrm{env}}=1{,}3\times10^4\\ \mathrm g=13\\ \mathrm{kg}. Desejamos encontrar a altitude h em que o balão atinge equilíbrio, usando o princípio de Arquimedes e modelo de atmosfera isotérmica.

Passo 2

Calcular a massa de hélio no balão no solo via equação dos gases ideais:
n_{\mathrm{He}}=\frac{P_0\,V}{R\,T},\quad m_{\mathrm{He}}=n_{\mathrm{He}}\,M_{\mathrm{He}}
com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}, M_{\mathrm{He}}=4,00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
Numericamente,
n_{\mathrm{He}} =\frac{1{,}013\times10^5\cdot10^4}{8{,}314\cdot293}\approx4{,}16\times10^5\\ \mathrm{mol},
m_{\mathrm{He}}=4{,}16\times10^5\cdot4{,}00\times10^{-3}\approx1{,}66\times10^3\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a massa de ar deslocado ao nível do mar:
m_{\mathrm{ar},0}=\rho_0\,V, \quad \rho_0=\frac{P_0\,M_{\mathrm{ar}}}{R\,T},
com M_{\mathrm{ar}}=28{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
\rho_0 =\frac{1{,}013\times10^5\cdot28{,}9\times10^{-3}}{8{,}314\cdot293} \approx1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3},
m_{\mathrm{ar},0}=(1{,}20)(10^4)\approx1{,}20\times10^4\\ \mathrm{kg}.
A capacidade máxima de carga (payload) ao nível do mar é
m_{\mathrm{pay,max}} =m_{\mathrm{ar},0}-m_{\mathrm{He}}-m_{\mathrm{env}} \approx1{,}20\times10^4-1{,}66\times10^3-13\approx1{,}03\times10^4\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Como o balão leva 80\% dessa carga,
m_{\mathrm{pay}}=0{,}8\,m_{\mathrm{pay,max}}\approx0{,}8\,(1{,}03\times10^4)\approx8{,}24\times10^3\\ \mathrm{kg}.
A massa total suspendida é
m_{\mathrm{tot}}=m_{\mathrm{He}}+m_{\mathrm{env}}+m_{\mathrm{pay}} \approx1{,}66\times10^3+13+8{,}24\times10^3\approx9{,}92\times10^3\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

No equilíbrio a força de empuxo iguala o peso total:
\rho(h)\,V\,g=m_{\mathrm{tot}}\,g \quad\Longrightarrow\quad \rho(h)=\frac{m_{\mathrm{tot}}}{V}.
Em atmosfera isotérmica vale
\frac{\rho(h)}{\rho_0} =\exp\Bigl(-\frac{M_{\mathrm{ar}}\,g\,h}{R\,T}\Bigr).
Logo
\exp\Bigl(-\frac{M_{\mathrm{ar}}\,g\,h}{R\,T}\Bigr) =\frac{m_{\mathrm{tot}}/V}{\rho_0}.

Passo 6

Substituindo valores numéricos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
\frac{m_{\mathrm{tot}}}{V\,\rho_0} =\frac{9{,}92\times10^3}{10^4\cdot1{,}20}\approx0{,}826.
Definindo
H=\frac{R\,T}{M_{\mathrm{ar}}\,g} =\frac{8{,}314\cdot293}{28{,}9\times10^{-3}\cdot9{,}81} \approx8{,}60\times10^3\\ \mathrm m,
temos
\exp\bigl(-h/H\bigr)=0{,}826 \quad\Longrightarrow\quad h=-H\ln(0{,}826)\approx8{,}60\times10^3\cdot0{,}191\approx1{,}64\times10^3\\ \mathrm m.

Resposta

A altitude de equilíbrio é aproximadamente 1{,}6\\ \mathrm{km}..

Exercícios relacionados