2.28 A 300 K , a solução de um polímero enche um cilindro até 0,20 \mathrm{~m} de altura; a área da seção reta é de 20 \mathrm{~cm}^{2}.
a) Se a concentração no topo da solução é 95 \% da concentração no fundo, qual é a massa molar do polímero?
b) Calcule a massa total do polímero no recipiente, se \bar{c}_{0}=0,25 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}.
c) Calcule a concentração média do polímero na solução.

Passo 1

O enunciado trata de uma solução de polímero em equilíbrio no campo gravitacional, dentro de um cilindro de altura h=0,20,m e área de base A=20,cm ^2. A temperatura é T=300,K. Devido ao peso das moléculas, a concentração varia com a altura segundo
c(z)=c_0\exp\!\bigl(-\tfrac{M g\,z}{R\,T}\bigr),
onde M é a massa molar do polímero, g a aceleração da gravidade e R a constante dos gases perfeitos.
(a) Usaremos a razão c(h)/c(0)=0,95 para achar M.
(b) Com c_0=0,25,mol/m ^3, calculamos a massa total integrando c(z) ao longo do volume.
(c) A concentração média é \bar c=(1/h)\int_0^h c(z)\,dz.

Passo 2

Para (a), escrevemos a razão dada:
\frac{c(h)}{c(0)}=\exp\!\bigl(-\tfrac{M g\,h}{R\,T}\bigr)=0,95.
Fazendo o logaritmo e isolando M, obtemos
-\frac{M g\,h}{R\,T}=\ln(0,95) \quad\Longrightarrow\quad M=-\frac{R\,T}{g\,h}\,\ln(0,95).

Passo 3

Substituindo R=8{,}314,J/(mo l\cdot K), T=300,K, g=9{,}8,m/s ^2 e h=0,20,m, temos
M=-\frac{8{,}314\cdot300}{9{,}8\cdot0,20}\,\ln(0,95) \approx0,0653\;\text{kg/mol}=65{,}3\;\text{g/mol}.

Passo 4

Para (b), o número total de mols é
n=\int_0^h c(z)\,A\,dz = A\,c_0\int_0^h e^{-\alpha z}\,dz = A\,c_0\frac{1-e^{-\alpha h}}{\alpha},
onde \alpha=M g/(R\,T). A massa total é m=n\,M, mas nota-se que
m = A\,c_0\,\frac{M}{\alpha}\bigl(1-e^{-\alpha h}\bigr) = A\,c_0\frac{R\,T}{g}\bigl(1-e^{-\alpha h}\bigr).
Como 1-e^{-\alpha h}=1-0,95=0,05, A=20,cm ^2= 2{,}0\times10^{-3},m ^2 e c_0=0,25,mol/m ^3,
m =2{,}0\times10^{-3}\times0,25\times\frac{8{,}314\cdot300}{9{,}8}\times0,05 \approx6{,}36\times10^{-3}\;\text{kg} =6{,}36\;\text{g}.

Passo 5

Para (c), a concentração média é
\bar c =\frac{1}{h}\int_0^h c(z)\,dz =c_0\frac{1-e^{-\alpha h}}{\alpha h} =0,25\;\frac{0,05}{-\ln(0,95)} \approx0,244\;\text{mol/m}^3.

Resposta

a) M=65{,}3,g/mol
b) m=6{,}36,g
c) \bar c=0,244,mol/m ^3

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