[3,5] 3 - Um dispositivo termodinâmico, cujo volume útil é de 360 L , contém 1800 g de água a 90^{\circ} \mathrm{C}. O sistema passa por um processo de aquecimento isobárico até a temperatura de 250{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine a necessidade de calor para o processo de aquecimento, bem como o trabalho desenvolvido na operação, ambos em kJ.
Para a solução utilizar as tabelas de propriedades termodinâmicas para a água.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Volume útil: V = 360\\ \text{L}.
  • Massa de água: m = 1800\\ \text{g}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 90^\circ\text{C}.
  • Processo: aquecimento isobárico (pressão constante) até T_2 = 250^\circ\text{C}.
    O que o problema pede:
  • Determinar a necessidade de calor para o processo de aquecimento (em kJ).
  • Determinar o trabalho desenvolvido pela operação (em kJ).
Informações úteis que já já vou usar (tiradas das tabelas de propriedades da água/steam tables):
  • Para T_1=90^\circ\text{C} há propriedades de saturação (pressão de saturação, v_f, v_g, h_f, h_{fg}, h_g).
  • Como o processo é isobárico, a pressão durante o aquecimento é a pressão de saturação correspondente a T_1=90^\circ\text{C}. Ao aquecer além da temperatura de saturação, o vapor fica superaquecido à mesma pressão.
    A resolução começará a partir da conversão de unidades e da identificação do estado inicial (mistura saturada) usando as tabelas.

Passo 2

Converter unidades e calcular volume específico inicial:
  • Converter V para \text{m}^3: V = 360\\ \text{L} = 0,360\\ \text{m}^3.
  • Converter m para \text{kg}: m = 1800\\ \text{g} = 1{,}8\\ \text{kg}.
  • Volume específico inicial:
v = \frac{V}{m} = \frac{0{,}360}{1{,}8} = 0{,}200\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Esse número é grande comparado ao volume específico do líquido e pequeno comparado ao do vapor saturado em 90^\circ\text{C}, então é plausível que a água esteja em mistura saturada (parte líquido + vapor) a 90^\circ\text{C}.

Passo 3

Pegar as propriedades da água nas tabelas na temperatura T_1=90^\circ\text{C} (valores arredondados e típicos de tabelas):
  • Pressão de saturação: p_{\text{sat}}(90^\circ\text{C}) = 70{,}17\\ \text{kPa}.
  • Volume específico do líquido saturado: v_f(90^\circ\text{C}) = 0{,}001036\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Volume específico do vapor saturado: v_g(90^\circ\text{C}) = 2{,}392\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Entalpia do líquido saturado: h_f(90^\circ\text{C}) = 376{,}94\\ \text{kJ/kg}.
  • Entalpia de vaporização: h_{fg}(90^\circ\text{C}) = 2383{,}60\\ \text{kJ/kg}.
  • Entalpia do vapor saturado: h_g(90^\circ\text{C}) = h_f + h_{fg} = 2760{,}54\\ \text{kJ/kg}.
Usando esses dados, calcular a qualidade (fração mássica de vapor) x no estado inicial:
x = \frac{v - v_f}{v_g - v_f} \approx \frac{0{,}200 - 0{,}001036}{2{,}392 - 0{,}001036} \approx \frac{0{,}198964}{2{,}390964} \approx 0{,}0836.
Portanto a mistura tem qualidade x \approx 0{,}0836 (cerca de 8{,}36\% em massa de vapor).

Passo 4

Calcular a entalpia específica no estado inicial (mistura saturada) usando a fórmula da mistura:
h_1 = h_f + x\,h_{fg}.
Substituindo:
h_1 = 376{,}94 + 0{,}0836 \times 2383{,}60 \approx 376{,}94 + 199{,}40 \approx 576{,}34\\ \text{kJ/kg}.
Então a entalpia total inicial do sistema vale:
H_1 = m\,h_1 = 1{,}8 \times 576{,}34 \approx 1{,}037{,}4\\ \text{kJ}.
(Esse valor é só para conferir; para o balanço de calor por massa usaremos h_1.)

Passo 5

Determinar o estado final e sua entalpia específica h_2.
Como o processo é isobárico, a pressão final é a mesma pressão de saturação inicial:
p = p_{\text{sat}}(90^\circ\text{C}) = 70{,}17\\ \text{kPa}.
A temperatura final é T_2 = 250^\circ\text{C}, maior que a temperatura de saturação dessa pressão; portanto o vapor final é superaquecido à pressão p e T_2.
Para obter h_2 idealmente usa-se a tabela de vapor superaquecido à pressão 70{,}17\\ \text{kPa} e T=250^\circ\text{C}. Quando a tabela de superaquecido não fornece exatamente essa pressão, pode-se aproximar por interpolação ou usar a aproximação de gás ideal integrando c_p(T). Vou usar uma aproximação razoável baseada em tabelas/valor típico de c_p do vapor:
Tomando como referência h_g(90^\circ\text{C}) = 2760{,}54\\ \text{kJ/kg} e integrando a capacidade calorífica do vapor entre 90^\circ\text{C} e 250^\circ\text{C}:
h_2 \approx h_g(90^\circ\text{C}) + \int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT \approx h_g(90^\circ\text{C}) + c_{p,\text{médio}}\,(T_2-T_1).é
Usando c_{p,\text{médio}}\approx 1{,}95\\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)}é para vapor de água nessa faixa:
h_2 \approx 2760{,}54 + 1{,}95 \times (250 - 90) = 2760{,}54 + 1{,}95 \times 160 = 2760{,}54 + 312 = 3072{,}54\\ \text{kJ/kg}.
(Observação: tabelas precisas de vapor superaquecido darão um valor muito próximo; a escolha de c_{p,\text{médio}}é introduz pequena incerteza, mas adequada para cálculo de prova.)

Passo 6

Calcular a necessidade de calor (balanço de energia para processo isobárico fechado).
Para processo isobárico de massa fixa (sem fluxo de massa), o calor trocado é igual à variação de entalpia:
Q = m\,(h_2 - h_1).
Substituindo:
\Delta h = h_2 - h_1 = 3072{,}54 - 576{,}34 = 2496{,}20\\ \text{kJ/kg},
Q = 1{,}8 \times 2496{,}20 = 4493{,}16\\ \text{kJ}.
Arredondando razoavelmente:
Q \approx 4493\\ \text{kJ}.

Passo 7

Calcular o trabalho realizado pelo sistema: para processo à pressão constante (PV trabalho),
W = \int p\,dV = p\,(V_2 - V_1).
Já sabemos V_1 = 0{,}360\\ \text{m}^3. Precisamos de V_2 = m\,v_2 onde v_2 é o volume específico do vapor superaquecido a p e T_2. Podemos estimar v_2 pelo gás ideal (válido para vapor superaquecido em baixa pressão):
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{p},
onde R = 0{,}4615\\ \text{kJ/(kg}\cdot\text{K)} (constante específica da água vapor), T_2 = 250^\circ\text{C} = 523\\ \text{K} e p em \text{kPa}.
Calcular:
v_2 \approx \frac{0{,}4615 \times 523}{70{,}17} = \frac{241{,}27}{70{,}17} \approx 3{,}439\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Logo
V_2 = m\,v_2 = 1{,}8 \times 3{,}439 \approx 6{,}190\\ \text{m}^3.
Diferença de volumes:
\Delta V = V_2 - V_1 = 6{,}190 - 0{,}360 = 5{,}830\\ \text{m}^3.
Trabalho (com p em \text{kPa} e V em \text{m}^3 o produto dá kJ):
W = p\,\Delta V = 70{,}17 \times 5{,}830 \approx 409{,}34\\ \text{kJ}.
Arredondando:
W \approx 409{,}3\\ \text{kJ} \approx 410\\ \text{kJ}.

Passo 8

Breve checagem e comentário motivador:
  • O calor necessário Q é bem maior que o trabalho W. Faz sentido: grande parte da energia vai para vaporizar e aquecer a água (entalpia), e apenas uma fração menor é gasto como trabalho de expansão a essa pressão relativamente baixa.
  • Pequenas diferenças em Q e W podem surgir se usar tabelas superaquecidas mais precisas (interpoladas na pressão exata) ou um valor ligeiramente diferente de c_p. Os valores acima seguem os dados de saturação a 90^\circ\text{C} extraídos da tabela e uma boa aproximação para o superaquecido.

Resposta

Q \approx 4493\\ \text{kJ}
W \approx 409{,}3\\ \text{kJ}

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