[3,0] 1-O Tetraclorometano (também conhecido como tetracloreto de carbono) é um composto orgânico usado na química sintética e foi muito usado como agente extintor e como agente refrigerante. Considerando que 500 kg deste produto líquido sejam armazenados, inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, determine a variação total de volume (em litros) para o sistema, na hipótese de um aquecimento a 45{ }^{\circ} \mathrm{C} e pressurização a 5 bar. Utilize os conceitos de expansividade volumétrica e compressibilidade isotérmica para solucionar o problema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do tetraclorometano: m = 500\\ \mathrm{kg}.
    • estado inicial: T_0 = 20^\circ\mathrm{C} e P_0 = 1\\ \mathrm{bar}.
    • estado final: T_1 = 45^\circ\mathrm{C} e P_1 = 5\\ \mathrm{bar}.
  • O que a questão pede:
    • determinar a variação total do volume do sistema (em litros) quando se aquece de 20^\circ\mathrm{C} para 45^\circ\mathrm{C} e se pressuriza de 1\\ \mathrm{bar} para 5\\ \mathrm{bar}.
  • Observação importante (dados de propriedades que não foram fornecidos no enunciado):
    • para prosseguir é necessário conhecer a densidade inicial (ou volume específico) do líquido e os coeficientes termo-elásticos (expansividade volumétrica e compressibilidade isotérmica). Vou adotar valores típicos de tabelas para tetracloreto de carbono à temperatura ambiente:
      • densidade em 20^\circ\mathrm{C}: \rho_0 = 1{,}594\\ \mathrm{g/cm^3} = 1594\\ \mathrm{kg/m^3}.
      • expansividade volumétrica (coeficiente de expansão) tomada como \beta = 1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}.
      • compressibilidade isotérmica tomada como \kappa_T = 7{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}}.
    • essas são aproximações típicas; a resposta numérica será baseada nesses valores.

Passo 2

Definir as grandezas físicas e a relação que será usada.
  • Definições:
    • expansividade volumétrica (coeficiente de expansão) \beta é definida por \beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P,onde V é o volume, T a temperatura e a derivada é à pressão constante.
    • compressibilidade isotérmica \kappa_T é definida por \kappa_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T,onde a derivada é à temperatura constante. Observa-se o sinal negativo para que \kappa_T seja positivo (um aumento de pressão reduz o volume).
  • Para variações finitas pequenas de temperatura e pressão, podemos linearizar e escrever a variação relativa do volume como \frac{\Delta V}{V_0} \approx \beta\,\Delta T - \kappa_T\,\Delta P,onde \Delta V = V_1-V_0, V_0 é o volume inicial, \Delta T = T_1-T_0 e \Delta P = P_1-P_0.
  • Essa fórmula vem da soma das contribuições independentes (primeira ordem) de temperatura e pressão sobre o volume.

Passo 3

Calcular o volume inicial V_0.
  • Primeiro converter a densidade para unidades SI (já listada): \rho_0 = 1594\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • O volume inicial é V_0 = \frac{m}{\rho_0} = \frac{500\\ \mathrm{kg}}{1594\\ \mathrm{kg/m^3}}.
  • Calcular: V_0 = \frac{500}{1594}\\ \mathrm{m^3} \approx 0{,}313762\\ \mathrm{m^3}.
  • Converter para litros: 1\\ \mathrm{m^3} = 1000\\ \mathrm{L}, então V_0 \approx 0{,}313762\times1000\\ \mathrm{L} \approx 313{,}762\\ \mathrm{L}.

Passo 4

Calcular as variações de temperatura e pressão em unidades compatíveis.
  • Variação de temperatura: \Delta T = T_1 - T_0 = 45^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 25\\ \mathrm{K}.(Diferença em Celsius é numericamente igual em Kelvin.)
  • Variação de pressão: converter bar para pascal ( 1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa}): \Delta P = P_1-P_0 = (5-1)\\ \mathrm{bar} = 4\\ \mathrm{bar} = 4\times10^5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Aplicar a fórmula linearizada para obter a variação relativa do volume \Delta V/V_0.
  • Usando \frac{\Delta V}{V_0} \approx \beta\,\Delta T - \kappa_T\,\Delta P,substituímos os valores adotados: \beta\,\Delta T = 1{,}20\times10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}\times25\\ \mathrm{K} = 0{,}0300.
\kappa_T\,\Delta P = 7{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{Pa^{-1}}\times 4\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}88\times10^{-4}.
  • Portanto \frac{\Delta V}{V_0} \approx 0{,}0300 - 0{,}000288 = 0{,}029712.Isso significa um aumento relativo de aproximadamente 2{,}9712\%.

Passo 6

Calcular a variação absoluta do volume \Delta V e convertê-la para litros.
  • \Delta V = V_0\left(\dfrac{\Delta V}{V_0}\right), logo \Delta V \approx 0{,}313762\\ \mathrm{m^3}\times 0{,}029712 \approx 0{,}009319\\ \mathrm{m^3}.
  • Converter para litros: \Delta V \approx 0{,}009319\times1000\\ \mathrm{L} \approx 9{,}319\\ \mathrm{L}.
  • Arredondando de forma prática para o contexto experimental, \Delta V \approx 9{,}32\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Breve comentário sobre as hipóteses e sensibilidade.
  • Foi usada a aproximação linear primeira ordem (válida quando as variações não são gigantescas), e assumiu-se que \beta, \kappa_T e \rho_0 são constantes entre os estados — isto é razoável para um líquido com variação de 25\\ \mathrm{K} e mudança de pressão moderada.
  • A contribuição do aquecimento ( \beta\Delta T) domina, enquanto a compressão por aumento de pressão ( \kappa_T\Delta P) é relativamente pequena.
  • Se tabelas precisas de \beta, \kappa_T e densidade forem fornecidas pela prova, substituir esses valores no mesmo procedimento dá a resposta correta com maior precisão.

Resposta

9,32 L

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