P5.30 Calculate \Delta S, \Delta S_{\text {surr }}, and \Delta S_{\text {universe }} per day for the airconditioned house described in Problem 5.4. Assume that the interior temperature is 65^{\circ} \mathrm{F} and the exterior temperature is 99^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular \Delta S (variação de entropia do interior da casa), \Delta S_{\text{surr}} (variação de entropia do entorno/exterior) e \Delta S_{\text{universe}} por dia para a casa com ar-condicionado.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Temperatura interior: \,65^\circ\mathrm{F}\,.
  • Temperatura exterior: \,99^\circ\mathrm{F}\,.
Informação que falta (necessária para obter valores numéricos):
  • A quantidade de calor removida do interior por dia (ou potência de refrigeração \dot{Q}_c ou Q_c por dia) e/ou o trabalho elétrico fornecido ao ar-condicionado W por dia; alternativamente, a eficiência medida por \mathrm{COP} (coeficiente de desempenho) do ar-condicionado que relaciona Q_c e W.
Observação importante: sem o valor de Q_c (ou sem potência/COP/consumo elétrico da unidade dada em Problema 5.4) não é possível calcular numericamente \Delta S, \Delta S_{\text{surr}} e \Delta S_{\text{universe}}. A seguir eu explico passo a passo como se faz o cálculo quando esses dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Converter as temperaturas para Kelvin (porque a fórmula de entropia usa temperatura absoluta). Método: primeiro converter de Fahrenheit para Celsius e depois para Kelvin.
Fórmula: T(^{\circ}\mathrm{C}) = \frac{5}{9}\bigl(T(^{\circ}\mathrm{F}) - 32\bigr),\qquad T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Aplicando aos valores dados:
T_{\text{in}} = 65^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_{\text{in}} = 273{,}15 + \frac{5}{9}(65-32) = 273{,}15 + \frac{5}{9}\cdot 33 = 273{,}15 + 18{,}333\ldots
T_{\text{in}} = 291{,}483\\ \mathrm{K}.
T_{\text{out}} = 99^\circ\mathrm{F} \Rightarrow T_{\text{out}} = 273{,}15 + \frac{5}{9}(99-32) = 273{,}15 + \frac{5}{9}\cdot 67 = 273{,}15 + 37{,}222\ldots
T_{\text{out}} = 310{,}372\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Revisão didática do conceito usado: variação de entropia por transferência de calor a temperatura constante.
  • Para um reservatório ou um corpo que permanece a temperatura praticamente constante T e que troca uma quantidade de calor Q reversivelmente, a variação de entropia associada a essa transferência é
\Delta S = \frac{Q}{T}.
  • Sinal: se o sistema perde calor Q (calor sai do sistema), então Q é negativo para o sistema e \Delta S_{\text{sistema}} = Q/T será negativo; se o ambiente ganha calor Q, para ele o Q é positivo e \Delta S_{\text{surr}}=Q/T_{\text{surr}} é positivo.
  • A entropia do universo é a soma
\Delta S_{\text{universe}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{surr}}.
No caso da casa com ar-condicionado, vamos identificar:
  • Sistema = ar interior (temperatura T_{\text{in}} aproximadamente constante).
  • Sorrundings = ar externo (temperatura T_{\text{out}} aproximadamente constante).
  • O ar-condicionado retira do interior uma quantidade de calor Q_c por dia (essa é a carga de refrigeração). Esse calor é rejeitado ao exterior junto com o trabalho elétrico W fornecido ao aparelho. Portanto a quantidade de calor entregue ao entorno por dia é
Q_{\text{out}} = Q_c + W.

Passo 4

Relacionamento entre Q_c e W via \mathrm{COP} (explicação e definição):
  • Para um ar-condicionado em modo de refrigeração, o coeficiente de desempenho (cooling COP) é definido por
\mathrm{COP} = \frac{Q_c}{W},
onde Q_c é a taxa (ou quantidade) de calor removida do interior e W é o trabalho elétrico de entrada (mesmas unidades, por exemplo J/s ou J por dia).
  • Isolando W:
W = \frac{Q_c}{\mathrm{COP}}.
(Se o problema de referência 5.4 fornece o consumo elétrico em kWh por dia ou a potência em W e/ou o \mathrm{COP}, pode-se usar essa relação para obter W.)

Passo 5

Derivar fórmulas finais que permitem calcular \Delta S por dia assim que Q_c (por dia) e \mathrm{COP} estiverem conhecidos.
  • Variação de entropia do interior (sistema), por dia:
\Delta S_{\text{sistema}} = \Delta S = -\frac{Q_c}{T_{\text{in}}}.
(escolhi sinal negativo porque Q_c é a quantidade de calor retirada do interior; se for dado Q_c positivo como “quantidade removida”, a entropia do sistema diminui.)
  • Variação de entropia do entorno (exterior), por dia:
\Delta S_{\text{surr}} = \frac{Q_{\text{out}}}{T_{\text{out}}} = \frac{Q_c + W}{T_{\text{out}}}.
Usando W = Q_c/\mathrm{COP}:
\Delta S_{\text{surr}} = \frac{Q_c + \dfrac{Q_c}{\mathrm{COP}}}{T_{\text{out}}} = \frac{Q_c}{T_{\text{out}}}\Bigl(1 + \frac{1}{\mathrm{COP}}\Bigr).
  • Variação de entropia do universo, por dia:
\Delta S_{\text{universe}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{surr}} = -\frac{Q_c}{T_{\text{in}}} + \frac{Q_c}{T_{\text{out}}}\Bigl(1 + \frac{1}{\mathrm{COP}}\Bigr).
Colocando Q_c em evidência:
\Delta S_{\text{universe}} = Q_c\left[-\frac{1}{T_{\text{in}}} + \frac{1}{T_{\text{out}}}\Bigl(1 + \frac{1}{\mathrm{COP}}\Bigr)\right].
Estas expressões são as fórmulas finais: para obter valores numéricos é preciso conhecer Q_c por dia (em joules por dia) e \mathrm{COP} (adimensional). Se Q_c for dado como potência \dot{Q}_c em watts (J/s), converte-se para J/dia multiplicando por 86400 s/dia:
Q_{c,\text{dia}} = \dot{Q}_c \times 86400.

Passo 6

Unidades e procedimento prático para calcular na prova (passo a passo concreto):
  1. Converter temperaturas para Kelvin (feito no Passo 2): usar T_{\text{in}} = 291{,}483\\ \mathrm{K} e T_{\text{out}} = 310{,}372\\ \mathrm{K}.
  2. Obter Q_c por dia (em J/dia). Se fornecida potência em W (J/s), multiplicar por 86400.
  3. Se for dada a \mathrm{COP}: usar W = Q_c/\mathrm{COP} e calcular \Delta S_{\text{sistema}}, \Delta S_{\text{surr}} e \Delta S_{\text{universe}} com as fórmulas do Passo 5.
  4. Se for dado o consumo elétrico por dia W diretamente (em J/dia), basta usar Q_{\text{out}} = Q_c + W sem precisar da \mathrm{COP}.
  5. Cuidado com sinais: Q_c deve ser colocado positivo como “quantidade removida do interior”; então \Delta S_{\text{sistema}}=-Q_c/T_{\text{in}}.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (hipotético) — atenção: é só um exemplo para ver números; não é a resposta do seu exercício porque o Problema 5.4 não foi fornecido.
Suponha uma carga de refrigeração típica \dot{Q}_c = 3500\\ \mathrm{W} (aprox. 1 tonelada de refrigeração) e \mathrm{COP}=3{,}0.
  • Primeiro Q_{c,\text{dia}} = 3500\times 86400 = 3{,}024\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
  • W_{\text{dia}} = Q_{c,\text{dia}}/\mathrm{COP} = 1{,}008\times10^{8}\\ \mathrm{J}.
  • \Delta S_{\text{sistema}} = -\dfrac{3{,}024\times10^{8}}{291{,}483} \approx -1{,}04\times10^{6}\\ \mathrm{J/K}.
  • \Delta S_{\text{surr}} = \dfrac{3{,}024\times10^{8} + 1{,}008\times10^{8}}{310{,}372} \approx +1{,}30\times10^{6}\\ \mathrm{J/K}.
  • \Delta S_{\text{universe}} \approx 2{,}6\times10^{5}\\ \mathrm{J/K} por dia (valor positivo, como esperado pela segunda lei).
Este exemplo mostra que normalmente o \Delta S_{\text{universe}} é positivo; o valor exato depende linearmente de Q_c e do \mathrm{COP}.

Resposta

Não é possível calcular numericamente \Delta S, \Delta S_{\text{surr}} e \Delta S_{\text{universe}} por dia porque o enunciado de Problema 5.4 (valor de Q_c por dia, potência do ar-condicionado ou \mathrm{COP} / consumo elétrico) não foi fornecido.

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