The heat capacity of
-quartz is given by
The coefficient of thermal expansion is given by
and
. Calculate
for the transformation
-quartz
-quartz (
, 925 atm ).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado.
- Pede: calcular
para a transformação -quartz -quartz . - Dados fornecidos:
- Capacidade térmica molar
: - Coeficiente de expansão térmica volumétrica molar
. - Volume molar
. - Estados:
, . - Pressões:
, .
- Capacidade térmica molar
Passo 2
Qual relação usar e por quê — derivação básica e significado das variáveis.
- Para uma transformação reversível entre dois estados de uma mesma fase, a diferencial molar da entropia é
Explicação: a primeira parcela vem da definição termodinâmica com (molar). A segunda parcela vem da relação de Maxwell . - Definição do coeficiente de expansão volumétrica:
Aqui é dado e assumimos e independentes de no intervalo (aproximação típica para sólidos). - Logo, a variação molar de entropia entre os dois estados é
Ou seja, Explicação das variáveis: em , em K, em , em Pa; atenção às unidades.
Passo 3
Preparar a integral com a expressão de
e converter unidades necessárias.
- Primeiro escrevemos
. Com onde temos Observação: o termo . - A integral em
torna-se Note que é negativo aqui; mantemos o sinal. - Converter
para e para valor numérico:
- Converter pressão em Pa:
. Então
Passo 4
Calcular numericamente a integral
.
- Valores numéricos:
-
Termos separados:
-
:
-
-
:
-
:
- Somando os três termos:
Passo 5
Calcular o termo de pressão
com unidades consistentes.
- Valores:
- Produto:
Observação: este termo é pequeno (ordem de J/K/mol) comparado ao termo térmico (ordem de J/K/mol).
Passo 6
Combinar os termos para obter
e comentar aproximações.
- Assim,
- Comentário amigável: a maior contribuição vem da variação de temperatura (integral de
); o efeito da forte compressão até 925 atm é pequeno para um sólido rígido como o quartzo, por isso o termo em é quase desprezível.