P5.39

a. Calculate \Delta S if 1.00 mol of liquid water is heated from 0.00^{\circ} to 10.0^{\circ} \mathrm{C} under constant pressure and if C_{P, m}= 75.3 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}.
b. The melting point of water at the pressure of interest is 0.00^{\circ} \mathrm{C} and the enthalpy of fusion is 6.010 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. The boiling point is 100 .{ }^{\circ} \mathrm{C} and the enthalpy of vaporization is 40.65 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}. Calculate \Delta S for the transformation \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\left(s, 0^{\circ} \mathrm{C}\right) \rightarrow \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\left(g, 100 .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (a) Calcular \Delta S para 1{,}00 mol de água líquida aquecida de 0{,}00^{\circ}\mathrm{C} até 10{,}0^{\circ}\mathrm{C} a pressão constante, sabendo que C_{P,m}=75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • (b) Calcular \Delta S para a transformação \mathrm{H_{2}O}(s,\,0^{\circ}\mathrm{C})\rightarrow \mathrm{H_{2}O}(g,\,100^{\circ}\mathrm{C}) usando os dados: entalpia de fusão \Delta H_{\mathrm{fus}}=6{,}010\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (para 0{,}00^{\circ}\mathrm{C}), entalpia de vaporização \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}65\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} (para 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}), e ponto de fusão 0{,}00^{\circ}\mathrm{C}, ponto de ebulição 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
    Informações relevantes dadas:
  • C_{P,m}=75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} (usado no item (a) e também assumido constante no item (b) para o aquecimento da fase líquida).
  • \Delta H_{\mathrm{fus}}=6{,}010\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=6{,}010\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}65\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=40{,}650\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Temperaturas de referência (em Kelvin) que usaremos: \,0{,}00^{\circ}\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K} e \,100{,}0^{\circ}\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (aula rápida e prática).
  • Entropia: para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Para aquecimento a pressão constante e assumindo C_{P,m} constante por intervalo de temperatura, isso se integra como
\Delta S=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{C_{P,m}}{T}\,\mathrm{d}T=C_{P,m}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
Aqui C_{P,m} é a capacidade calorífica molar a pressão constante (unidade: \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}), T_{1} e T_{2} são temperaturas iniciais e finais em kelvin.
  • Para uma mudança de fase reversível ocorrendo a temperatura constante T_{\text{fase}} (por exemplo fusão a 0{,}00^{\circ}\mathrm{C} ou vaporização a 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}), a variação de entropia da mudança de fase é
\Delta S_{\text{fase}}=\frac{\Delta H_{\text{fase}}}{T_{\text{fase}}},
onde \Delta H_{\text{fase}} é a entalpia molar da mudança de fase (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}}) e T_{\text{fase}} é a temperatura em kelvin.
  • Estratégia para o item (b): decompor o caminho em etapas reversíveis fáceis de calcular (fusão a 0{,}00^{\circ}\mathrm{C}, aquecimento do líquido de 0{,}00^{\circ}\mathrm{C} até 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}, vaporização a 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}) e somar as variações de entropia (entropia é função de estado, então dá para somar etapas).

Passo 3

Resolver (a) passo a passo.
  • Temperaturas em kelvin:
T_{1}=0{,}00^{\circ}\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{2}=10{,}0^{\circ}\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando a fórmula de aquecimento com C_{P,m} constante:
\Delta S = C_{P,m}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right).
  • Substituindo os valores (lembrando que C_{P,m}=75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}):
\Delta S = 75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\times \ln\!\left(\frac{283{,}15}{273{,}15}\right).
  • Calcule o argumento do logaritmo e o logaritmo:
\frac{283{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}0366,\qquad \ln(1{,}0366)\approx 0{,}0360.
  • Multiplicando:
\Delta S \approx 75{,}3\times 0{,}0360 \approx 2{,}71\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
Interpretação: para 1 mol de água, a entropia aumenta pouco ao subir 10{,}0^{\circ}\mathrm{C} porque a temperatura no denominador é grande (aumentos de entropia por aquecimento moderado são pequenos).

Passo 4

Preparação para (b): decompor a transformação e listar as contribuições.
  • Caminho escolhido (todas etapas reversíveis):
    1. \mathrm{H_{2}O}(s,\,0^{\circ}\mathrm{C})\xrightarrow{\text{fusão a }0^{\circ}\mathrm{C}}\mathrm{H_{2}O}(l,\,0^{\circ}\mathrm{C})ã.
    2. Aquecer o líquido de 0{,}00^{\circ}\mathrm{C} até 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
    3. \mathrm{H_{2}O}(l,\,100^{\circ}\mathrm{C})\xrightarrow{\text{vaporização a }100^{\circ}\mathrm{C}}\mathrm{H_{2}O}(g,\,100^{\circ}\mathrm{C})çã.
  • A variação total de entropia é soma das três contribuições:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\mathrm{fus}}+\Delta S_{\text{aq, liq}}+\Delta S_{\mathrm{vap}}.

Passo 5

Calcular \Delta S_{\mathrm{fus}} (fusão a 0{,}00^{\circ}\mathrm{C}).
  • Fórmula: \Delta S_{\mathrm{fus}}=\dfrac{\Delta H_{\mathrm{fus}}}{T_{\mathrm{fus}}}.
  • Converter \Delta H_{\mathrm{fus}} para joules por mol:
\Delta H_{\mathrm{fus}}=6{,}010\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=6{,}010\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Temperatura de fusão em kelvin: T_{\mathrm{fus}}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo:
\Delta S_{\mathrm{fus}}=\frac{6{,}010\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}}{273{,}15\\ \mathrm{K}}\approx 22{,}02\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular \Delta S_{\text{aq, liq}} (aquecer o líquido de 0{,}00^{\circ}\mathrm{C} a 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}).
  • Usamos novamente \Delta S=C_{P,m}\ln(T_{2}/T_{1}) com T_{1}=273{,}15\\ \mathrm{K} e T_{2}=373{,}15\\ \mathrm{K}, e C_{P,m}=75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Substituindo:
\Delta S_{\text{aq, liq}}=75{,}3\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}\times \ln\!\left(\frac{373{,}15}{273{,}15}\right).
  • Calcule o logaritmo:
\frac{373{,}15}{273{,}15}\approx 1{,}3663,\qquad \ln(1{,}3663)\approx 0{,}3113.
  • Multiplicando:
\Delta S_{\text{aq, liq}}\approx 75{,}3\times 0{,}3113 \approx 23{,}45\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular \Delta S_{\mathrm{vap}} (vaporização a 100{,}0^{\circ}\mathrm{C}).
  • Fórmula: \Delta S_{\mathrm{vap}}=\dfrac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{T_{\mathrm{vap}}}.
  • Converter \Delta H_{\mathrm{vap}} para joules por mol: \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}65\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=40{,}650\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Temperatura de ebulição em kelvin: T_{\mathrm{vap}}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo:
\Delta S_{\mathrm{vap}}=\frac{40{,}650\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}}{373{,}15\\ \mathrm{K}}\approx 108{,}96\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 8

Somar as contribuições para obter \Delta S_{\text{total}}.
  • Soma:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\mathrm{fus}}+\Delta S_{\text{aq, liq}}+\Delta S_{\mathrm{vap}}
\Delta S_{\text{total}}\approx 22{,}02 + 23{,}45 + 108{,}96 = 154{,}43\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Arredondando de forma apropriada (três algarismos significativos) dá \approx 154{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.

Passo 9

Comentário final e incentivo rápido.
  • Resultado faz sentido: a maior contribuição para a entropia vem da vaporização (mudança de fase que gera um grande aumento de desordem), enquanto o aquecimento do líquido e a fusão dão contribuições menores.
  • Tá indo bem — esses passos (usar \Delta S=\int C_{P}/T\,\mathrm{d}T para aquecimento e \Delta S=\Delta H/T para mudanças de fase à temperatura constante) aparecem muito em provas; decore a ideia e pratique com alguns números para ficar confortável com logaritmos e com a conversão de unidades.

Resposta

(a) \Delta S=2,71\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}
(b) \Delta S=154{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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